[目次]

平面曲線の曲率

何回でも微分可能な曲線 p= p(t) （a≦t≦b）が与えられており、 常に |p^・(t)| ＞ 0 と仮定します。

1. 弧長パラメータ s を
   
   　　　　s(t) = ∫_a^t|p^・(u)|du
   
   で定義します。
2. この関数は単調増加なので、逆関数を持ちます。 それを t=t(s) と表します。
3. t=t(s) を 代入することにより p を s の（ベクトル値）関数と思うことができます。 それを p(s) で表します。
4. s による微分を ’（ダッシュ）で表します。p’(s), p”(s) などが計算できます。
5. p’(s) は曲線pの進行方向の向きの単位接ベクトルです。e(s) とも表します。
6. p’(s) を反時計回りに９０度回転して得られるベクトル、つまり進行方向に対して 左向きの単位法線ベクトルをn(s) と表します。
7. s に関する加速度ベクトルp”(s) は n(s) と平行で、 n(s) のスカラー倍になっています：p”(s)＝ κ(s) n(s)。 この κ(s) を曲線 p の曲率といいます。

公式 κ(s) ＝ det(p’(s), p”(s))

演習

以下の３つの曲線に対し、定義に基づいて曲率を計算しました：

1. p(t)＝（2t-1, 3t+5）　　（2≦t≦4）
2. p(t)＝（3 cos t, 3 sin t）　　（0≦t≦2π）
3. p(t)＝（e^t, 2e^t）　　（1≦t≦2）

プリントを配布しました：pa02.pdf