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今回は平面曲線のトピックで残っていたものをすませた後、空間曲線に話題を移しました。

曲率半径

平面曲線p=p(s)の各点で、同じ曲率を持つ円周の半径をその点の曲率半径 といいます。曲率半径は 1/|κ| で与えられます。

空間曲線

空間曲線のパラメータ表示 p=p(t) （a≦t≦b）が与えられたとします。 平面曲線と同様に次のようなことを考えます。

この曲線の長さは積分

　　　∫_a^b| p^・(t)| dt

で与えられます。t はダミーのパラメータですから、これを

　　　∫_a^b| p^・(u)| du

と書いても同じものが得られます。 この値を l とします。

a≦t≦b を満たす t に対して、

　　　s(t) = ∫_a^t| p^・(u)| du

は元の曲線の a 〜 t の部分の長さを表します。 これを t に関して微分すると

　　　ds/dt = | p^・(t)|

となります。 速度ベクトル p^・(t)は決して 0 にならないものと仮定しましょう。 すると、上の値は必ず正ですから、s は t に関して狭義単調増加関数となり、 逆に t を s の関数と思うことができます：t=t(s)　。 これを曲線の式に代入すれば、「弧長パラメータ」s によるパラメータ表示 p=p(t(s)) が得られます。これを p=p(s) と略記します。

以下、パラメータは s とします。
sに関する微分は「’」（ダッシュ）で表すのも、平面曲線の時と同じです。

p’(s) は単位接ベクトルであり、 e(s) で表します。 これに垂直な向きは平面の場合と異なり無限に多く存在するので、その中から ひとつを選び出すために、次の仮定を行います：

　　　e’(s) ＝p”(s) は決して 0 にならない。

このベクトルe’(s)はe(s)に垂直です。そこで、

　　　n(s)＝e’(s) / |e’(s)|

と定めます。これは主法線ベクトルと呼ばれます。 さらに

　　　b(s)＝e(s)×n(s)　（×はベクトル積です。内積ではありません！）

と定め、従法線ベクトルと呼びます。このベクトルも e(s) に垂直であり、長さが１です。

|e’(s)| をκ(s) と書き、曲率と呼びます。定義から、この値は 必ず正になります。これが平面曲線の曲率と大きく異なるところです。

最後に捩率τ(s) を

　　　τ(s) ＝ -b’(s)・n(s)　（・は内積です）

曲率や捩率は弧長でないパラメータtによる表示が与えられているときでも、計算は可能です（演習）。

演習

最初に平面曲線のフルネの公式を証明しました。

プリント（pa02.pdf）の問題を解きました。