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面積・角・長さ

Dはuv平面の中の領域であり、p:D → R³ は ある曲面のパラメータ表示であるとします。

この曲面の面積 A は次の積分で与えられます：

　　　　A ＝ ∬_D| p_u×p_v |du dv

| p_u×p_v |du dv を dA とかき、 面積要素と呼びます。

| p_u×p_v | は √(EG-F²) と等しいので、

　　　　dA ＝ √(EG-F²) du dv

　　　　A ＝ ∬_D√(EG-F²) du dv

と表現することもできます。等式

　　　　| p_u×p_v |² ＝ (EG-F²)

は曲率を計算するときにも役立ちます。

実際に面積を計算するときは（必要ならばＤを適当な領域に分割してから）

　　　　∫_c^d｛∫_g(v)^f(v) | p_u×p_v |du ｝dv

　　　　∫_a^b｛∫_g(u)^f(u) | p_u×p_v |dv ｝du

のような累次積分に変形して行います。

演習

プリントNo.3の問題をいくつか解きました。