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面積・角・長さ（続き）

先週は、面積について学びました。今週は曲線の長さ、および 交わる２曲線のなす角の大きさについて学びます。

D は uv 平面の中の領域とし、 p : D → R³ は ある曲面のパラメータ表示であるとします。

この曲面の上の曲線 q＝q(t) （ a ≦t≦b ）を考えます。 D はこの曲面の「地図」に相当しますから、この曲線上の点 q(t)は D の中の点と対応していますので、その点を (u(t), v(t)) と表すことにします。これにより D の中の曲線 r(t)＝(u(t), v(t)) （ a ≦t≦b ）が得られます。つまり q(t) ＝ p(u(t), v(t)) という関係になっています。

さて、q は、曲面 p を忘れると、３次元空間内の 普通の曲線ですから、その長さは

　　　　∫_a^b | q^・(t) | dt

で表すことができます。 これを u(t), v(t) を使って表してみましょう。

合成関数の微分の公式（連鎖律）により

　　　　q^・(t) ＝ (d/dt) （p(u(t), v(t))） ＝ p_u u^・(t) ＋ p_v v^・(t)

となります。したがって

　　　　| q^・(t) |² ＝ （p_u u^・(t) ＋ p_v v^・(t)）・ （p_u u^・(t) ＋ p_v v^・(t)） ＝ E u^・(t)² ＋ 2 F u^・(t) v^・(t) ＋ G v^・(t)²

という関係が得られ、これを用いて、曲線qの長さは

　　　　∫_a^b √｛E u^・(t)² ＋ 2 F u^・(t) v^・(t) ＋ G v^・(t)²｝dt

という風に、第一基本量を使って表現することがわかりました。 つまり、３次元空間の中で考えずに、「地図」D の上に書かれた曲線 (u(t), v(t)) と、D の上で定義された３つの量 E(u,v), F(u,v), G(u,v) で、 この曲線の長さが求まるということです。 もう少し丁寧に書くと、次のようになります。書きにくいのでuv平面に おける曲線(u(t), v(t))の接ベクトル（u^・(t), v^・(t)） を（α, β）と書きます。すると上のルートの中の式は

　　　　　　　　　┌　　　┐┌　┐
　　　　［α　β］│Ｅ　Ｆ││α│　　　　　　(*)
　　　　　　　　　│Ｆ　Ｇ││β│
　　　　　　　　　└　　　┘└　┘

という２次形式です。 Dの各点において、接ベクトル［α　β］,［γ　δ］の新しい「内積」 ［α　β］＊［γ　δ］を

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┌　　　┐┌　┐
　　　　［α　β］＊［γ　δ］＝［α　β］│Ｅ　Ｆ││γ│
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　│Ｆ　Ｇ││δ│
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　└　　　┘└　┘

で定めることにすれば、上の(*)は、［α　β］＊［α　β］と書けます。 これを、新しい「内積」＊に関するベクトル［α　β］の「大きさ」 ‖［α　β］‖の２乗と解釈すれば、曲線qの長さは

　　　　∫_a^b ‖ r^・(t) ‖ dt

で表されることになります。 ＊や‖・‖が不自然に感じられるかもしれませんが、 「地図」の上では、ベクトルやベクトルのなす角の大きさが正確に 表せているわけではないので、実際の大きさを表すように補正したものだと 解釈してください。


次に、曲面p(u,v) 上の２曲線 q₁(t), q₂(t) がある１点で交わっているとしましょう。 必要ならばパラメータをとりなおすことによって、その交点は q₁(t₀) ＝ q₂(t₀) であるとしましょう。 この２曲線のなす角θを、それぞれの速度ベクトルのなす角として定義します。 さらに、この２曲線が地図 D 上の２曲線

　　　　r₁＝(u₁(t), v₁(t)), 　　　　r₂＝(u₂(t), v₂(t))

で表されているとします。これらを用いると、２曲線 q₁, q₂の時刻 t における速度ベクトルは、それぞれ

　　　　p_u(u₁(t),v₁(t)) u₁^・(t) ＋ p_v(u₁(t),v₁(t)) v₁^・(t)

　　　　p_u(u₂(t),v₂(t)) u₂^・(t) ＋ p_v(u₂(t),v₂(t)) v₂^・(t)

とかけるので、cos θは

　　　　 E(u₀, v₀), F(u₀, v₀), G(u₀, v₀), u₁^・(t₀), v₁^・(t₀), u₂^・(t₀), v₂^・(t₀)

を用いて書くことができます（入力が面倒なので式は省略）。 ただし、(u₀, v₀) は交点に対応する地図 D 上の点 (u₁(t₀), v₁(t₀)) ＝ (u₂(t₀), v₂(t₀)) のことです。 上で導入した新しい「内積」＊と「大きさ」‖・‖を用いると、 次のように簡潔に表すことができます：

　　　　cos θ＝r₁^・(t₀) ＊r₂^・(t₀)／ （‖r₁^・(t₀)‖ ‖r₂^・(t₀)‖）

演習

●双曲線のパラメータ表示

曲面の上の「面積」「長さ」「角度」の概念は、uv平面の領域において、 第一基本量 E, F, G がわかれば、すべて求まることを学びました。 つまり、空間の中の「形」をしらなくても、E, F, G のみを知ることにより、 その曲面の「幾何」が調べられるのです。この考えを、やや極端に押し進めて、 次のような「曲面」を考えてみます：

uv平面のすべてにおいて、

　　　　E ＝ -1, F ＝ 0, G ＝ 1

という「第一基本量」が与えられているとしましょう。 この上の曲線 (u(t), v(t)) を次式で定めます：

　　　　u(t)＝cosh(t),　v(t)＝sinh(t)

これは双曲線 x²-y² ＝ 1 の右側の部分になります。 この曲線の接ベクトルは

　　　　(u^・(t), v^・(t)) ＝ (sinh(t), cosh(t))

ですから、その「大きさ」を E, F, G を使って計算すると

　　　　‖(u^・(t), v^・(t))‖ ＝ √（-sinh²(t) + cosh²(t)）＝ 1

となります。つまり上の (u(t), v(t)) は速さ１の等速運動を表しており、 パラメータ t は点 (u(0), v(0))=(1,0) を基準とした弧長パラメータです。 その意味で、このパラメータは、単位円 x² + y² ＝ 1 のパラメータ表示 (cos(t), sin(t)) のパラメータ t が、点(1,0)を基準とした 弧長であることと非常に綺麗に対応しています。

●平面曲線を回転してえられる曲面のパラメータ表示

xz平面の x＞0 の部分にある曲線q(u)=(x(u), z(u)) （a≦u≦b）をｚ軸のまわりに１回転すると、 曲面が得られます。 ひとつのパラメータはuをそのまま使い、もうひとつの パラメータとして、x軸の正の向きを基準としたz軸の回りの回転角 v（球面の場合は、「経度」に対応するもの）を用いることにすると、 この回転図形のパラメータ表示は

　　　　（x(u)cos(v), x(u)sin(v), z(u)）　　　（a≦u≦b, 0≦v≦2π）

となります。