[目次]

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幾何学II

■セル複体の鎖複体(1)

（２次元以下の）セル複体 X に対し、 i次元鎖線形空間 C_i(X;R) を定義しました。 これは X のiセル（向きを指定）たちを基底とする実係数線形空間です。 例えば、e₁, e₂, ……, e_m が X の （向きづけられた）iセルたちとすると、
　　　C_i(X;R)＝｛α₁e₁＋……＋α_me_m | α_j∈R ｝
となります。その要素を X のi鎖(チェイン)と呼びます。

i≠0,1,2 のときは、C_i(X;R) ＝｛0｝＝０と考えます。

各 i に対し, 線形写像 ∂： C_i(X;R)　→　C_i-1(X;R) が次のように定められます:

• i＝1のとき：e が0セル u から0セル v へ向かう1セルならば、 ∂(e)＝u+(-1)v＝u−v
• i＝2のとき：2セル e の縁が（eの向きに従って）各1セルc₁, c₂, ……, c_n をそれぞれ（向きをこめて） β₁, β₂, ……, β_n 回貼り付けられるとすると、 ∂(e)＝β₁c₁＋β₂c₂＋……＋β_nc_n
• i≠1, 2：∂(e)＝0

例：下図のような射影平面のセル分割を考えます。
　　　　　　　
頂点(0セル)は２個になります。1セル a の始点を u 、終点を v とします。 b の始点は v 、終点は u となります。 1セルの向きは図の通りとし、2セル f の向きは時計回りとします。 このとき、
　　　∂(u)＝∂(u)＝0
　　　∂(a)＝ v − u ＝(-1)u ＋ 1 v
　　　∂(b)＝ u − v ＝ 1 u ＋(-1)v
　　　∂(f)＝ 2u ＋ 2v
となります。
したがって、
　　　C₂(X;R) の基底を f
　　　C₁(X;R) の基底を a, b
　　　C₀(X;R) の基底を u, v
とすると、 線形写像 ∂： C₂(X;R)　→　C₁(X;R) の表現行列は

　　　　　┌ ┐
　　　　　│2│
　　　　　│2│
　　　　　└ ┘

線形写像 ∂： C₁(X;R)　→　C₀(X;R) の表現行列は

　　　　　┌     ┐
　　　　　│-1  1│
　　　　　│ 1 -1│
　　　　　└     ┘

となります。（これは小テストの問題でした）

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幾何学演習II

■単体複体の鎖複体(2)

i単体σ＝＜v₀,v₁,……, v_i＞ に対して、
　　　∂(σ)＝Σ_j=0ⁱ　(-1)^j ＜v₀,……, v_j^x,……, v_i＞
と定めます。ただし、肩のxはその項を取り除くことを意味します。

例えば、
　　　∂(＜a＞) ＝ 0
　　　∂(＜a, b＞) ＝ ＜b＞ − ＜a＞
　　　∂(＜a, b, c＞) ＝ ＜b, c＞ − ＜a, c＞ ＋＜a, b＞
です。

これにより、線形写像の列 ∂： C_i(X;R)　→　C_i-1(X;R) が定まります。

■小テスト
下図のように４点 a, b, c, d がある。

              ・a




      b・             ・c




                 ・d

単体複体 K ＝｛＜a,b,c＞,＜b,c,d＞,＜a,b＞,＜a,c＞,＜b,c＞,＜b,d＞,＜c,d＞,＜a＞,＜b＞,＜c＞,＜d＞｝を考える。 C₂(K;R)の基底として、＜a,b,c＞,＜b,c,d＞をとり、 C₁(K;R)の基底として、＜a,b＞,＜a,c＞,＜b,c＞,＜b,d＞,＜c,d＞をとる。 このとき線形写像∂：C₂(K;R) → C₁(K;R) を 表す行列を求めよ。

定理 ∂o∂＝０