多角形の幾何学
この講義では曲線や曲面などの「曲がり方」について学びます。 今日はその準備として、多角形の「曲がり方」について考えてみました。 ただし、以下では「角」と「その大きさ」をあまり区別しないで使っていますので、 ご注意願います。
n角形の内角の和が (n-2)x180°である ことはよく知られています。 しかし、次の定理はこの事実と本質的に同じことを表していて、 しかもよりシンプルです：
定理． n角形の外角の和は360°である。
頂点における外角とは内角との和が180°である角のことです。 例えば下の例では緑の矢印で示した外角は正ですが、 赤の矢印で示した外角は(内角が180°を超えているので)負と考えます。 すると、内角の和と外角の和の合計はnx180°ですから、そのうちの内角の和 (n-2)x180°をひくと外角の和が 2x180°＝360°であるとわかります。
上のように考えた外角は、仮に多角形の周上を反時計回りに回ると考えたとき、 進行方向が各頂点で「折れ曲がる」その角度を、符号をつけて考えたものになっています。 これがその頂点における「曲がり量」です。 したがって上の定理は 「n角形の曲がり量の総合計は360°である」 と表現できます。
これはこれで面白いのですが、どんな多角形でも曲がり量の総合計が360°というのは、 なんだかつまらないような気もしてきます。 そこで、n角形の概念を拡張して、隣り合わない辺がぶつかってもよいとすると、 面白い現象が起きます。
上の左の図では、総合計が0°になります。また右の図では総合計が720°になります。 つまりそれぞれ360°の0倍、2倍になっています。 興味のある方は、これらの数に関して色々考えてみてください。
演習
今日は平面のベクトルや回転を表す行列、 そして2次正方行列の行列式の幾何学的意味などについて復習を行いました。