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幾何学II

■いろいろな図形(2)

前回、正方形 I2＝｛ (x,y)| 0≦x≦1, 0≦y≦1 ｝において、 向かい合う２辺を貼り合わせることによって次の２種類の図形を作りました。

円柱(シリンダー)
円環(アニュラス) A		 メビウスの帯 MB

隣り合う２辺を貼り合わせるとどのような図形ができるでしょう。 隣り合う２辺の貼り合わせ方は、本質的には次の２種類があります：

左の貼り合わせで出来る図形は２次元円板 D2 になります（小テスト）。 これを観察するには図形を「同相」の範囲内で色々変形する必要があります。 そのような変形を行う上で大事なことが二つあります。

  1. つながっている所を切り離してはいけない。
  2. しかし、どうしても切り離す必要がある場合は、「印」をつけておいて、 あとで元のように貼り戻しておく。

右の貼り合わせではメビウスの帯ＭＢができます。これを直接「見る」ことができますか？ もし難しければ、印のついた２辺を分離するような対角線で、一度切り離してみましょう。

次に二組の２辺をそれぞれ貼り合わせることを考えます。 同じ文字が書かれた辺同士を矢印の向きがそろうように貼り合わせることにします。 次のような貼り合わせでどんな図形ができるでしょうか。 〔２次元の球面 S2 になります（小テスト）〕

そのほかに次のような図形を学びました：

クラインの壷 KB トーラス T2 射影平面 P2


幾何学演習II

■三角形における重心座標(2)
前回、次のような課題を出しました。

課題：三角形の重心、外心、内心、垂心の重心座標を求めよ（頂角や辺の長さを使ってかまいません）。

このうち、重心と内心は講義で調べました。残っている外心と垂心については、次回までのレポート課題にします。

また次の問いの(1)のみ終わりました。残りは次回に回します。

問：平面上に点A(1,3), B(-1,-1), C(5,1)を考えます。

  1. 重心座標が (1/2, 1/4, 1/4) である点を求めなさい。
  2. 重心座標が (1/3, 1/3, 1/3) である点を求めなさい。
  3. 点 (1,0) の重心座標を求めなさい。