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幾何学II

小テスト：次のワード表示で与えられる図形にはMBが入っていますか？
（1）abcabc
（2）abca-1b-1c-1
（3）abca-1b-1c

ワードの中に同じ文字が同じ形で 「……a……a……」「……a-1……a-1……」 のようにはいっていれば、その２辺を結ぶように帯をとって、MBを見つけることができます。 どの文字も一方が「a」、他方が「a-1」の形で入っていれば、 MBの帯を見つけることはできません。従って、MBがみつかるのは(1)と(3)です。


■ワード表示の変形

ワード表示された閉曲面はS2であるか、もしくはT2やP2たちの連結和で表されることを、数回にわたって調べます。

例１． KB ＝ P2＃P2
例２． T2＃P2 ＝ KB ＃P2 ＝ P2＃P2＃P2

まず、例１を、連結和の定義に戻って観察しました。P2から開円板を とりのぞくと、MB になります。したがって、右辺はふたつのMBをふちに沿って 貼り合わせたものであることがわかります。一方KBにはMBが入っていますから、 その内部を取り除いた残りをよく見るとそれもMBになっていることがわかるので、 主張が示されます。

一般にワードAで表示される図形XとワードBで表示される図形Yの連結和は、AとBを そのまま並べてABの形のワードで表示できますから、P2＃P2の ワード表示として aabb がとれます。KBのワード表示 cdcd-1 を「変形」して、 aabb の形にすることを考えます。

cd＝a とおきます。右からd-1をかけて、形式的に c＝ad-1 が 得られます。これらを元のcdcd-1に代入して c を消去します：
　　cdcd-1 ＝ aad-1d-1
ここで、d-1 ＝ b とおけば、求める aabb の形になります。 授業では、これらの操作が実際に図形の切り貼りで実現できることを観察しました。 これにより例１の証明を行うことができます。



幾何学演習II

■複体とその表す図形

今回は（単体的）複体の概念について学びました。

定義 （単体的）複体Kとは、単体の集合であって、次の２条件をみたすものをいう。

  1. σ∈K でτがσの辺単体ならば、τ∈Kである。
  2. σ, τ∈K ならば、(1) σ∩τは空集合か、または (2) σ∩τ はσとτ、両方の辺単体である。

小テスト：K が複体になるように、□を埋めなさい：
　　K＝｛|uvw|, |tw|, □, □, □, □, □, □, □ ｝

定義 |K|＝∪σ∈Kσ：Kの表す図形

異なる複体が同じ図形を表すこともあります。複体とその表す図形をしっかり区別しましょう。

定義 (1) n単体σの次元（dim σ）を n と定める。
(2) 複体 K の次元 dim K を、K に属する単体の次元の最大値と定める。
(3) r を整数とするとき、複体Kのr骨格（rスケルトン）K(r) を、 Kの単体で次元が r 以下のものの全体と定める。
(4) L が複体 K の部分集合で、L 自身も複体であるとき、L は K の部分複体であるという。

例：σはn単体とする。
(1) K(σ)＝｛τ｜τはσの辺単体 ｝は複体である。次元はnであり、｜K(σ)｜＝σである。
(2) K(σ・)＝K(σ)n-1＝｛τ｜τはσの真の辺単体 ｝は K(σ)の 部分複体であり、｜K(σ・)｜＝σ・である。