[目次]

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幾何学II

■ワード表示の変形 (2)

変形の基本

1. 文字を取り替える。
   
   1. a → x, a^-1 → x^-1
   2. a → x^-1, a^-1 → x
2. 巡回的に文字の並び方を変える：AB ←→ BA
3. 隣り合う a と a^-1 を取り去る。またその逆： A a a^-1 B ←→ AB ←→ A a^-1 a B
   ただし、AB は「空」ではないとする。
4. Aa BC a^-1 D ←→ A a' CB a'^-1 D
   aB＝a' とおいて、その両辺に、形式的に右から B^-1 をかけると、 a＝a'B^-1という式が得られます。 さらに両辺の逆をとると、a^-1＝B a'^-1 が得られます。 これにより Aa BC a^-1 D から a を消去するとA a' CB a'^-1 D が得られます。この変形は実際に、aB という辺の集まりの端点を結ぶ線分(a')に 沿って多辺形を分割し、a で貼り合わせることと対応しています。 逆方向の変形も同様です。また a と a^-1 の位置が入れ替わっている場合も 同様な変形が可能です。
5. AB^-1aaC ←→ Aa'Ba'C ←→ Aa"a"B^-1C
   a'＝B^-1a とおいて、両辺に左から B をかけると a=Ba' が得られます。 これをAB^-1aaC に代入して a を消去すると、Aa'Ba'Cが得られます。 これも実際に多辺形を、縁の B^-1a の部分の端点を結ぶ線分 a' で分割し、 a で貼り合わせることに対応しています。他の変形も同様です。
6. 全体の逆をとる： A ←→ A^-1
   これは多辺形を裏返すことに対応しています。

便利な技：aba^-1b^-1 や cc のような「基本部品」は ワード内の任意の場所に移動できます：

1. A B aba^-1b^-1 C ←→ A aba^-1b^-1 B C
2. A B cc C ←→ A cc B C

事実： 一般に X ＝ X' （同相）、Y ＝ Y' （同相）ならば X ＃ Y ＝ X' ＃ Y' が成り立ちます。 したがって、X のワード表示 A が A' に変形され、Y のワード表示 B が B' に変形され、 かつ A, A' に現れる文字と B, B' に現れる文字に重複がないならば、AB を A'B' に 変形してもよいことになります。このことを使うと変形が簡単になることがしばしばあります。

これらを使って、与えられたワード表示を「標準形」にする方法を解説しようとしましたが、 時間が来たので、次回続けます。

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幾何学演習II

■単体の向き

n 単体 |v₀v₁……v_n| は、頂点を並べ替えても 同じ図形を表します。頂点の並び方に意味を持たせるときは、 ＜v₀v₁……v_n＞という記号を用いることにします。 例えば、＜a b＞と＜b a＞は違ったものを表すと考えます。ただ、 順番が違えばみな違うというわけではありません。並べ替えるその仕方が、 「偶置換」になっているときは「同じ」、 「奇置換」になっているときは「逆」と考えます。 例えば＜a b c＞と＜b c a＞ の場合、その並べ替え方は

　　　a  b  c
　　　＼＼／
　　　　×＼
　　　／ ｜｜
　　　a  b  c

のようになっていて、同じ頂点を結ぶ曲線たちが２カ所で交わりますので、 偶置換になります。したがって、＜a b c＞＝＜c b a＞ です。

＜a b c＞＝−＜b a c＞ となります。

小テスト：＜a b c d e ＞と＜b c e d a＞ は同じか？　逆か？

Kが複体とします。そのi単体がσ₁, ……, σ_mとするとき、
　　　C_i(K;R)＝｛r₁σ₁＋……＋r_mσ_m ｜ r_j は実数　｝
と定めます。これは、σ₁, ……, σ_m を基底とする線形空間です。

次回は、線形写像
　　　∂：C_i(K;R)→C_i-1(K;R)
を定義します。