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幾何学II

オイラー標数

図形Xをセル分割したとき、
   0セルの個数 - 1セルの個数 + 2セルの個数 - 3セルの個数 + ……
という量が得られますが、この値はセル分割の取り方によりません。 これを図形Xの「オイラー標数」といい、χ(X) と書きます。

色々な図形のオイラー標数を計算しました。特に次のことがわかりました:

  1. χ(S2)=2
  2. χ(m T2)=2-2m    ただし m≧1
  3. χ(m P2)=2-m    ただし m≧1




幾何学演習II

線形写像の核と像

V, W を線形空間とし、dim V = n, dim W = m としておきます。 また f:V → W を線形写像とします。

定義:
(1) Ker f ={ v ∈ V | f(v)=0 }:写像 f の核 (kernel)
(2) Im f ={ f(v) ∈ W | v ∈ V }:写像 f の像 (image)

Ker f は V の線形部分空間であり、 Im f は W の線形部分空間です。準同型定理より 次の公式が成り立ちます:
   dim Ker f + dim Im f = n (= dim V)      (*)

Ker f や Im f の次元を実際に計算するには、V と W の基底を固定し、 f を mxn 行列 A で表します。このとき、
   dim Im f = rank(A) :行列 A の階数
   dim Ker f = n − rank(A)
となります。

行列 A の階数を計算するには、行列の「行基本変形」を用います:
(1) ひとつの行にある実数をかけたものを別の行に加える。
(2) ひとつの行に0でない実数をかける。
(3) ふたつの行を入れ替える。

最後の操作は、実は上の2つの操作を組み合わせて得られるので、「基本度」は低いですが、 便利なので入れておきました。