[目次]

幾何学II

■曲面の分類

最初に、一般の実係数鎖複体 C に関して、等式
　　　dim H0 - dim H1 + dim H2 - dim H3 + ……＝ dim C0 - dim C1 + dim C2 - dim C3 + ……
を証明しました。

次に標準形の閉曲面のベッチ数とオイラー標数を計算しました：

X S2 nT2＝T2＃…＃T2 nP2＝P2＃…＃P2
β0＝dim H0(X;R) 111
β1＝dim H1(X;R) 02nn-1
β2＝dim H2(X;R) 110
χ(X) 22-2n2-n

この表の意味することについては次回述べます。

幾何学演習II

■写像とホモロジー群

幾何学２では「セル分割」を使って図形のホモロジー群を定義しました。 ここでは「単体分割」を使って図形のホモロジー群を定義します： 図形Xに対し、単体的複体Kと同相写像φ：｜K｜→ X の対（K,φ）を X の 「単体分割」といいます。単体分割（K,φ）が与えられたとき、 図形 X の実係数ホモロジー群を
　　　Hi(X；R）＝ Hi(K；R）
で定めます。単体分割はセル分割の特別な場合と考えられます。

事実：各連続写像 f：X → Y に対し、線形写像 f*： Hi（X；R）→ Hi（Y；R）（i∈Z） が対応し、次の性質が成り立つ：

  1. f：X → Y, g：Y → Z がともに連続であるならば、 （g o f）*＝g* o f*
  2. 1：X → X が恒等写像であるならば、1*： Hi（X；R）→ Hi（X；R） も恒等写像である。

f* を f の「誘導」する線形写像といいます。 その実際の構成方法はここでは述べませんが、 上のことだけを使ってどんなことが調べられるか考えてみます。

定義：図形 X の部分集合 A に対して連続写像 r：X → A で A に制限したものが A の恒等写像になる（＊）ものが存在するとき、その r を X から A への「レトラクション」 といい、A は X の「レトラクト」であるという。

（＊）の条件は、A から X への包含写像を i と表すとき、r o i ＝ 1A と表現できます。ただし、 1A は A の恒等写像です。

例：X ＝[0,1], A ＝｛0｝, B ＝｛0, 1｝とするとき、A は X のレトラクトですが B は X のレトラクトではありません。

例：X を２次元の閉単位円板 D2、A をその境界である単位円周 S1 とするとき、 A は X のレトラクトではありません。

上の例は「中間値の定理」を使って証明しました。下の例はホモロジー群を使って 証明しました。上の例もホモロジー群を使って証明できます。試してみてください。 次回（来年）は、この応用を述べます。