[目次]

---

幾何学II

閉曲面の分類について復習した後、 ガウス・ボンネの定理について学びました。

■ガウス・ボンネの定理

定理　３次元空間内の曲面上の測地三角形 ABC において、次式が成り立つ。
　　　∠A ＋ ∠B ＋ ∠C ＝ π ＋ ∬_△ABCK dA
ただし、K は各点におけるガウス曲率を表す。

曲面が平面の時は「平面三角形の内角の和は180°である」というよく知られた事実です。 一般の場合の証明は前期の幾何学Iの教科書を見てください。 講義では単位曲面の場合を観察しました。

定理　３次元空間内の閉曲面 X に対し、次式が成り立つ。
　　　∬_XK dA ＝ 2πχ(X)

---

幾何学演習II

■不動点定理

一般に写像 f ：X → X に対し、f(a)＝a をみたす a ∈ X を 「f の不動点」といいます。 不動点の存在に関する次の定理たちを証明しました：

定理　任意の連続写像 f：[0,1] → [0,1] は必ず不動点を持つ。

定理　任意の連続写像 f：D² → D² は必ず不動点を持つ。

その他、教科書に載っているBorsuk-Ulamの定理なども鑑賞しました。