幾何学Ｉ
今回は前回配布したプリントの解説を行いました。 下では「角」と「その大きさ」をあまり区別しないで使っていますので、ご注意願います。
n角形の内角の和が (n-2)x180°である ことはよく知られています。 しかし、次の定理はこの事実と本質的に同じことを表していて、 しかもよりシンプルです：
定理． n角形の外角の和は360°である。
頂点における外角とは内角との和が180°である角のことです。 例えば下の例では緑の矢印で示した外角は正ですが、 赤の矢印で示した外角は(内角が180°を超えているので)負と考えます。 すると、内角の和と外角の和の合計はnx180°ですから、そのうちの内角の和 (n-2)x180°をひくと外角の和が 2x180°＝360°であるとわかります。
上のように考えた外角は、仮に多角形の周上を反時計回りに回ると考えたとき、 進行方向が各頂点で「折れ曲がる」その角度を、符号をつけて考えたものになっています。 これがその頂点における「回転角」です。 したがって上の定理は 「n角形の回転角の総合計は360°である」 と表現できます。（反時計回りの向きでは-360°になります。）
これはこれで面白いのですが、どんな多角形でも回転角の総合計が360°というのは、 なんだかつまらないような気もしてきます。 そこで、n角形の概念を拡張して、隣り合わない辺がぶつかってもよいとすると、 面白い現象が起きます。
上の左の図では、総合計が0°になります。また右の図では総合計が720°になります。 つまりそれぞれ360°の0倍、2倍になっています。 興味のある方は、これらの数に関して色々考えてみてください。
演習
今回は前回配布したプリントの解説を行いました。
いくつか注意を述べます。
- 問いの中に現れていない文字（例えば S）を使うときは、それが何を表しているのか はっきり説明してください。例えば、「求める長方形の面積を S とおく」とか、 「ふたつのベクトルの張る三角形の面積を S とおく」のように書きます。ましてや、 ２つの異なるものを同じ文字で表してはいけません。
- 次のような変形を行ってはいけません：
どこがおかしいかわかりますか？ 
, 
, 
は見間違いやすいですから、誰が見ても区別がつくように書いてください。
- A の行列式を |A| で書くと、その絶対値を表すのに ||A|| と書かなくてはなりません。 非常に読みづらいですから、そのような場合は行列式を det(A) で表してください。