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小テスト：
cosh² t - sinh ² t ＝ 1 を証明せよ。

パラメータ表示と速度ベクトル

■ パラメータ表示
パラメータ表示 p(t) =(f(t), g(t)) の例として、双曲線について 解説を行いました。

○双曲線 x² - y² - 1 = 0 の右半分

(1) p(t)=(cosh t, sinh t)　　-∞ ＜ t ＜ ∞

(2) p(t)=(√(1+t²), t)　　-∞ ＜ t ＜ ∞

○双曲線 x² - y² - 1 = 0 の左半分

(1) p(t)=(- cosh t, sinh t)　　-∞ < t < ∞

(2) p(t)=(-√(1+t²), t)　　-∞ ＜ t ＜ ∞

○双曲線 x² - y² - 1 = 0 の上半分

(1) p(t)=(t, √(t² - 1))　　 t ≦ -1, 1≦ t

○双曲線 x² - y² - 1 = 0 の下半分

(1) p(t)=(t, -√(t² - 1))　　 t ≦ -1, 1≦ t

■ 速度ベクトルと曲線の長さ

一般にtの関数f(t)のtに関する導関数を上に点「・」をつけて、 f^・(t)のように表します。
パラメータ表示p(t)=(x(t), y(t))　(a≦t≦b)についても、
　　　　　p^・(t)=(x^・(t), y^・(t))
のように表します。これは時刻tにおける速度ベクトルを表します。 その大きさ |p^・(t)| は時刻tにおける速さを表します。 速さを時間について積分すれば、運動の道のりが得られます。 これはつまり曲線の長さです：
　　曲線の長さ＝∫_a^b |p^・(t)| dt

定積分における積分変数はダミーですから、他の文字に変えても構いません。 t を u に変えてみます。
　　曲線の長さ＝∫_a^b |p^・(u)| du

上の式で b を t に取り替えると、時刻 0 から時刻 t の間の道のりが得られます：
　　s(t)＝∫_a^t |p^・(u)| du

この s は非常に重要な役割をはたします。

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演習

演習プリントNo.1の２番と３番の(1)(2)(3)を解いてもらいました。

また双曲三角関数に関する微分公式を証明してもらいました：

　　　(cosh t)'= sinh t,　　　(sinh t)'= cosh t

レポート課題　
(1) cosh に関する加法定理の公式をみつけ、証明しなさい。
(2) プリント３番の(4)
期限：5/27の講義開始時