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曲面のパラメータ表示

○空間内の曲面を数式で表現する方法として、まず、方程式

　　　F(x,y,z) ＝ 0

によるものがあります。曲面が関数の

　　　z ＝ f(x,y)

のグラフになっている場合も

　　　z - f(x,y) ＝ 0

と書けるので、その特殊な場合と見なせます。

○もうひとつ、パラメータ表示によるものがあります：

　　　p=p(u,v)　　　(u,v)∈ D ⊂ R²



例： z = f(x,y) のグラフの場合は、 x=u, y=v とおけばパラメータ表示 p=(u,v,f(u,v)) が得られます。例えば z = x²+y² の場合は、 パラメータ表示はp=(u,v,u²+v²) です。これを Maxima で描画したものが次の画像です：



z=x²-y²の場合は次のようになります：



例：方程式が□²+□²=1 とか □²-□²=1 の 形のものについて、三角関数や双曲線関数を利用する方法も簡単に説明しました。 その他、曲線を回転してえられる図形についてはあまり触れることができませんでしたので、 次回詳しく解説します。

グラフ描画ソフト

曲線や曲面を描くのに、便利なソフトがいくつかあるので紹介します。

Maxima

微積分の計算やグラフの描画にとても便利です。
Maxima - KnmxWiki に色んな情報があるのでたどってみて下さい。 具体的には、次のことを実行して下さい。

1. http://maxima.sourceforge.net/から Windows用のファイルをダウンロードし、そのファイルをダブルクリックしてインストールします。
2. インストールしたフォルダ（普通なら C:\Program Files\Maxima-5.X.X）の中の binフォルダに wgnuplot.exe というファイルもあるので、そのショートカットをデスクトップに 作成します(Gnuplotというグラフ表示ソフトです）。
3. リンク集で紹介されている中川さんの「Maxima 入門ノート」(maxima.pdf) をダウンロードして、適当なフォルダに保存して、いつでも読めるようにします。

あとは入門ノートを読んで、色々試して下さい。 なお、Gnuplot を初めて起動すると、字がつぶれて読めませんので、左上スミの 小さいアイコンを左クリックして、「Options」→「Choose Font」でフォントサイズが 9になっているのを10程度に増やして、読めるようにします。 例えば Akira Nishimura さんの Windows版 Gnuplot の使い方を見れば、丁寧な説明があります。

Risa/Asir

陰関数表示された曲線を描画するのに最適です。

1. Risa/Asir（神戸版）ダウンロードページから日本語版の asirwin-ja.exe をダウンロードし、実行します。
2. asir というフォルダができるので、それを C:\Program Files に移します。
3. そのフォルダの中に asirgui.exe というファイルがあるので、そのショートカットを デスクトップに作成します。
4. そのアイコンをダブルクリックして、起動します。
5. 例えば x³+xy²-2y²=0 を描画したければ
   　　ifplot(x^3+x*y^2-2*y^2);
   と入力します。

大学のパソコンなど、勝手にソフトをインストール出来ない機械で、 Netにつながっていて、ＣＤ−Ｒの読めるものならば、 Knoppix/MathのＣＤでパソコンを 起動することにより上記のソフトが使えるようになるかもしれません。 詳しくは Knoppix/Math を参照して下さい。

演習

弧長パラメータで与えられる空間曲線の曲率や捩率の公式の証明を行いました。 一般パラメータによる公式は各自チャレンジしてください。