[目次]

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幾何学II

■向き付け可能性

曲面がMBを含むとき「向き付け不可能」であるといい、 含まないとき「向き付け可能」であるといいます。

ワードの中に同じ文字が同じ形で 「……a……a……」「……a^-1……a^-1……」 のようにはいっていれば、その２辺を結ぶように帯をとって、MBを見つけることができます。 どの文字も一方が「a」、他方が「a^-1」の形で入っていれば、 MBの帯を見つけることはできません。

■ワード表示の変形

ワード表示された閉曲面はS²であるか、もしくはT²やP²たちの連結和で表されることを、数回にわたって調べます。

例１． KB ＝ P²＃P²
例２． T²＃P² ＝ KB ＃P² ＝ P²＃P²＃P²

まず、例１を、連結和の定義に戻って観察しました。P²から開円板を とりのぞくと、MB になります。したがって、右辺はふたつのMBをふちに沿って 貼り合わせたものであることがわかります。一方KBにはMBが入っていますから、 その内部を取り除いた残りをよく見るとそれもMBになっていることがわかるので、 主張が示されます。

定理 　閉曲面は次のどれかに同相である：

1. S²
2. T²＃……＃T²
3. P²＃……＃P²

これを証明する準備として、ワード表示の基本変形について解説を始めました。

変形の基本

1. 文字を取り替える。
   
   1. a → x, a^-1 → x^-1
   2. a → x^-1, a^-1 → x
2. 巡回的に文字の並び方を変える：AB ←→ BA
3. 隣り合う a と a^-1 を取り去る。またその逆： A a a^-1 B ←→ AB ←→ A a^-1 a B
   ただし、AB は「空」ではないとする。
4. Aa BC a^-1 D ←→ A a' CB a'^-1 D
   aB＝a' とおいて、その両辺に、形式的に右から B^-1 をかけると、 a＝a'B^-1という式が得られます。 さらに両辺の逆をとると、a^-1＝B a'^-1 が得られます。 これにより Aa BC a^-1 D から a を消去するとA a' CB a'^-1 D が得られます。この変形は実際に、aB という辺の集まりの端点を結ぶ線分(a')に 沿って多辺形を分割し、a で貼り合わせることと対応しています。 逆方向の変形も同様です。また a と a^-1 の位置が入れ替わっている場合も 同様な変形が可能です。
5. AB^-1aaC ←→ Aa'Ba'C ←→ Aa"a"B^-1C
   a'＝B^-1a とおいて、両辺に左から B をかけると a=Ba' が得られます。 これをAB^-1aaC に代入して a を消去すると、Aa'Ba'Cが得られます。 これも実際に多辺形を、縁の B^-1a の部分の端点を結ぶ線分 a' で分割し、 a で貼り合わせることに対応しています。他の変形も同様です。
6. 全体の逆をとる： A ←→ A^-1
   これは多辺形を裏返すことに対応しています。

上の操作の４番まで解説しました。

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幾何学演習II

復習問題　（次回提出）