[目次]

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幾何学II

■ワード表示の変形(3)

前回習った基本変形の応用として次の公式を証明しました。これらは試験などで自由に 使って構いません。

1. KB ＝P²＃P²
2. T²＃P²＝P²＃P²＃P² ＝KB＃P²

ワード表示で与えられた閉曲面を、 標準形（S², T²＃……＃T², P²＃……＃P²） に変形する方法について学びました。 手順は次の通りです。

• となり同士キャンセルできる対があれば消す。 なにかの変形をおこなってキャンセルできる対ができたら、それも消す。 最後に a a^-1 の形になれば、もうキャンセルはできないが、これは S²である。以下、そうでないとする。
• ワード中に同じ向きの文字の対があれば、基本変形を使ってそれらを隣り合わせ、 P²と閉曲面X'の連結和に分解し、X'を調べる。これを繰り返し、 同じ向きの文字の対をすべてP²にしてしまう。
• 同じ向きの文字対がなくなったら、（キャンセルできるものを消してから） 「絡んだ２組の文字対」を見つけ、基本変形をうまく使って、その２対を集める：
  　　　AaBbCa^-1Db^-1E →……→ aba^-1b^-1EADCB
  これによりT²と閉曲面 EADCB の連結和にわかれる。 これを繰り返していけば、同じ向きの文字対を持たないものはT²の連結和か 球面S²であることがわかる。
• 以上をまとめて、元の閉曲面は次のどれかになる：
  1. S²
  2. T²＃……＃T²
  3. P²＃……＃P²
  4. P²＃……＃P²＃T²＃……＃T²
  最後の場合は、公式 P²＃T²＝P²＃P²＃P² を使って3の場合に変形する。

問：次のワード表示の図形を標準形に変形せよ：

1. aa^-1b^-1cc^-1b
2. a^-1c^-1abcdb^-1d^-1
3. abbccdaeff^-1ed
4. abcacb^-1

上の問題は次回授業が始まるまでに黒板に解答してください。

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幾何学演習II

■鎖複体(2)

全回、複体 K の（実係数）鎖複体 C_p(K;R) 　(p∈Z) を K の向きづけられたk単体たちを基底とする線形空間として定義しました。つまり
　　　 C_p(K;R) ＝ ｛a₁σ₁^(k)＋……＋a_mσ_m^(k) ｜ a_i∈R｝
ただし、σ₁^(k), ……, σ_m^(k) は K の向きづけられたp単体たちとします。

次に、線形写像 ∂_p：C_p(K;R) → C_p-1(K;R) を、基底に対しては
　　　∂_p（< a_i0, a_i1, a_i2, ……, a_ip>）＝ (-1)⁰<a_i1, a_i2, ……, a_ip> ＋(-1)¹<a_i0, a_i2, ……, a_ip>
　　　　　　　　＋(-1)²<a_i0, a_i1, a_i3, ……, a_ip> ＋…… ＋(-1)^p<a_i0, a_i1, ……, a_ip-2, a_ip-1>
と定め、これを線形に拡張することによって全体に定義します。

すると、（C_*(K;R), ∂_*）は次の意味で「鎖複体」になります。

定義　線形空間の列 C_*＝（C_p, p∈Z）と 線形写像の列 ∂_*＝（∂_p）, p∈Z）の対は、 すべてのpに対し∂_p-1o∂_p＝0 が成り立つとき、鎖複体 と呼ばれる。