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曲率円・曲率半径

曲率円・曲率半径の概念を解説しました。

フルネの公式

　　　e'(s) ＝κ(s) n(s)
　　　n'(s) ＝−κ(s) e(s)
下の式は、上の式の両辺を90度回転したものです。

閉曲線の回転数

p(s) (0≦s≦L) が次の２条件を満たすとします：

1. p(0)=p(L)　つまり始点と終点が一致。
2. p'(0)=p'(L)　つまり始点と終点で速度ベクトルが一致。

このとき、θ(L)≡θ(0) mod 2π　が成り立ちます。つまり、
　　　θ(L)−θ(0) ＝ 2kπ
となる整数 k が存在します。このような k をこの曲線の回転数といいます。

回転数 k を積分を用いて表すことができます： k ＝ (1/2π)∫₀^Lκ(s) ds
これは次のようにして容易に証明できます：
　　　右辺　＝ (1/2π)∫₀^Lθ'(s) ds
　　　　　　　＝ (1/2π)[θ(s)]₀^L
　　　　　　　＝ (1/2π)(θ(L) - θ(0)) ＝ k ＝左辺

上の計算でわかるように、θ(L)−θ(0) は曲率を積分したものになりますから、 これを全曲率といいます。

演習

演習プリントNo.2の ２、３(1)(2)、４(1)(2)(3)(4) の曲率を求める部分をやってもらいました。