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空間曲線の曲率・捩率、フルネ・セレの公式

前々回、中途半端に終わったので、最初からやり直しました。

何回でも微分可能な空間曲線 p= p(t) （a≦t≦b）が与えられており、 常に |p^・(t)| ＞ 0 と仮定します。

弧長パラメータ s を

　　　　s(t) = ∫_a^t|p^・(u)|du

で定義します。 この関数は単調増加なので、逆関数を持ちます。 それを t=t(s) と表します。 t=t(s) を 代入することにより p を s の（ベクトル値）関数と思うことができます。 それを p(s) で表します。 s による微分を ’（ダッシュ）で表します。 ｜p’(s)｜＝１となります。 e(s)＝p’(s) と書きます。 単位接ベクトルです。 ここまでは平面の場合と全く同じです。

さて、平面ではe(s)を90度回転することにより、 法線ベクトルを作ることが出来ました。 しかし、空間ではどちらの方向に回転すればよいのか、決められません。 等式
　　　e(s)・e(s)＝１
の両辺をsで微分して、 　　　e'(s)・e(s)＝０、つまり　e'(s)⊥e(s)
がわかります。 ｜e'(s)｜を曲率とよび、κ(s) で表します。 空間曲線の曲率は負になることがありませんので、注意してください。
以下、e'(s)が０ベクトルではないと仮定し、
　　　 n(s) ＝ e'(s)／｜e'(s)｜＝ e'(s)／κ(s)
とおくと、これは単位ベクトルで、e(s) に垂直です。 これを主法線ベクトルといいます。 上の式を変形して、平面の時と同じ式
　　　e'(s) ＝ κ(s) n(s)
が得られます。

さらに
　　　b(s) ＝ e(s) × n(s)
とおくと、これはe(s) にもn(s) にも垂直な単位ベクトルになります。 これを従法線ベクトルと呼びます。

捩率（れいりつ・ねじれ）τを定義しました：

　　　τ(s) ＝ -b’(s)・n(s)　（・は内積です）

次にフルネ・セレの公式について学びました：

e'(s)	＝		κ(s)n(s)
n'(s)	＝	−κ(s)e(s)		＋τ(s)b(s)
b'(s)	＝		−τ(s)n(s)

さらに以下の公式を紹介しました：

　　κ(s) ＝｜p'(s)　×　p''(s)｜
　　τ(s) ＝det（p'(s)　p''(s)　p'''(s)）／｛κ(s)²｝

また s を使わずに元のパラメーターtを用いると教科書p.47のような公式が得られることを紹介しました。

つるまき曲線の曲率や捩率を計算する途中で時間がきました。これは次回にまわします。