#6. 開集合と閉集合

(X,d):距離空間、A⊂X, B=A^c (Aの補集合)とする。前回の図を思い出そう。

A ‖ Bc

Ac ‖ B

↓

Ai ‖ Be

Af ‖ Bf

Ae ‖ Bi

上図下段の左の２つの部分の和Aⁱ∪A^f=A∪A^fをA の閉包といい、 A^aと書く。 A⊂A^aが成りたつ。

　問：A^ac=A^ci, A^a=A^cic, Aⁱ=A^cac を納得しなさい。

Aが(X,d)の開集合　＜＝＞ A⊂Aⁱ　＜＝＞ A＝Aⁱ
Aが(X,d)の閉集合　＜＝＞ A⊃A^a　＜＝＞ A＝A^a

定義：A^e = Bⁱ ：Aの外部 ＝ Aの補集合の内部

A^e⊂A^c, したがって A∩A^e＝φ が成り立つ。 特に Aⁱ∩A^e＝φ も成り立つ。

※　色々な例で、開集合になっているかどうか、また、閉集合になっているかどうかを 調べてみました。４通りの可能性すべてが起こりえます。一般に全体集合と空集合は、 開集合であり同時に閉集合です。またどちらでもない集合もたくさんあります。

定理：
A が開集合　＜＝＞　A^cは閉集合
A が閉集合　＜＝＞　A^cは開集合