[目次]

数列の収束

■数列の収束

数列｛a_n｝が実数 a に収束するとは、次のいずれか（実はすべて同値）が なりたつことをいいます。

• 任意のε＞0 に対し、「（n∈Nかつn≧n₀）⇒ |a_n-a|＜ε」 がなりたつような自然数 n₀が存在する。
• 任意のε＞0 に対し、「（n∈Nかつn＞n₀）⇒ |a_n-a|＜ε」 がなりたつような自然数 n₀が存在する。
• 任意の自然数Nに対し、「（n∈Nかつn≧n₀）⇒ |a_n-a|＜1/N」 がなりたつような自然数 n₀が存在する。
• 任意の自然数Nに対し、「（n∈Nかつn＞n₀）⇒ |a_n-a|＜1/N」 がなりたつような自然数 n₀が存在する。

その時々で、一番都合のよいものを使って下さい。

具体例：　a_n＝(1/2)ⁿ で与えられる数列は 0 に収束する。
証明：ε＞0 を任意にとる。

（ここは答案の一部ではありません。） 考え方： 不等式 |an−0|＜εを解いてみます。 　　　|(1/2)n|＜ε 　　　log2 (1/2)n ＜ log2 ε 　　　-n ＜ log2 ε 　　　n ＞ - log2 ε

- log₂ ε　より大きい自然数 n₀ をとる。 Nは上に有界でないから、そのようなn₀ は必ず存在する。
n≧n₀とすると、
　　　n ＞ - log₂ ε
　∴　-n ＜ log₂ ε
　∴　log₂ (1/2)ⁿ ＜ log₂ ε
　∴　|(1/2)ⁿ - 0|＜ε
よって (1/2)ⁿ は 0 に収束する。（証明終わり）

講義では、「はさみうちの原理」、数列の和や積などについても話をしました。

演習

• プリント＃２の２、３、７がすみました。

２に追加して、

２’：１／√(n) → 0 の証明
２”：n/(1+n) → 1 の証明
を出題しました。