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全射・単射・全単射

写像 f : X → Y を考えます。

fに関する以下の条件は互いに同値です。 これらをみたすとき、fは全射であるといいます。
  1. f(X) = Y
  2. f(X) ⊃ Y
  3. 各 y ∈ Y に対し、∃x∈X s.t. f(x)=y
  4. 各 y ∈ Y に対し、f-1({y}) は空でない (つまり要素の個数は1以上)。


fに関する以下の条件は互いに同値です。 これらをみたすとき、fは単射であるといいます。
  1. x, x' ∈X かつ x≠x' ⇒ f(x)≠f(x')
  2. x, x' ∈X かつ f(x)=f(x') ⇒ x=x'
  3. 各 y ∈ Y に対し、f-1({y}) は空であるか、または ちょうど一つの要素からなる(つまり、要素の個数が1以下)。


fに関する以下の条件は互いに同値です。 これらをみたすとき、fは全単射であるといいます。
  1. fは全射であり、かつ単射である。
  2. 各 y ∈ Y に対し、f-1({y}) は ちょうど一つの要素からなる(つまり、要素の個数が1)。


f:X→Y が全単射であるとき、各 y∈Y に対し、f(x)=y である x∈X が ただひとつ存在します。yに対してこの x を対応させる写像を f-1:Y→Xとかき、f の逆写像といいます。


演習