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距離空間の定義と例

■距離関数

n は自然数とし、集合 X＝Rⁿ＝ ｛ x=(x₁,x₂,……,x_n) | x_i∈R ｝ を考えます。 X の上の距離関数は無数にあります。ここではそのうちの４つを取り上げてみます。

• 前回の課題で定義した距離関数を d_D と書くことにします。 これは「離散距離関数」と呼ばれます。Dという添え字は「離散的な」という意味の英語 discrete の頭文字です。
  　　　　d_D (x,y) ＝ 1　　　(x≠yのとき)
  　　　　d_D (x,y) ＝ 0　　　(x＝yのとき)
  
  
• d₁⁽ⁿ⁾(x, y)＝|x₁ - y₁| + |x₂ - y₂| + …… + |x_n - y_n|
  
  
• d⁽ⁿ⁾(x, y)＝√｛ (x₁ - y₁)² + (x₂ - y₂)² + …… + (x_n - y_n)²｝
  
  
• d₀⁽ⁿ⁾(x, y)＝max｛ |x₁ - y₁| , |x₂ - y₂| , …… , |x_n - y_n| ｝
  
  

これらはどれもRⁿの上の距離関数です。各自、確かめてみましょう。 一部はレポート課題にします。

具体的な計算をしてみましょう。 R² の２点 x=(1,2), y=(3,1) に対して、
　　　d_D (x,y) ＝1, 　 d₁⁽²⁾(x, y)＝3, 　 d⁽²⁾(x, y)＝√{5}, 　 d₀⁽²⁾(x, y)＝2
となります。



■課題　（次回、レポート提出）

1. d⁽¹⁾ が条件D₃をみたすことを証明しなさい。
2. d⁽²⁾ が条件D₃をみたすことを証明しなさい。

■自由課題　

講義において、次のような関係があることを述べました：
　　　d₁⁽ⁿ⁾(x, y)　≧　 d⁽ⁿ⁾(x, y)　≧　 d₀⁽ⁿ⁾(x, y)

他にどんな関係があるでしょう。