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開集合・内点

定義：(X,d) を距離空間、U を X の部分集合とする。
　　　U が (X,d) の開集合　⇔　 ∀x∈U に対し ∃ε＞0 s.t.　N(x；ε)⊂U

上の定義の右辺の後半部分だけを取り出すと次の定義になります。

定義：(X,d) を距離空間、A を X の部分集合、x を A の点とする。
　　　x が A の内点　⇔　 ∃ε＞0 s.t.　N(x；ε)⊂A

この言葉を用いると、開集合は次のように説明できます：
　　　U が (X,d) の開集合　⇔　Uの任意の点がUの内点

任意の距離空間 (X,d) において、以下の部分集合は開集合です：

1. 空集合 φ
2. 全体集合 X
3. N(x；ε)　　ただし、x∈X, ε＞0