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■小テスト
距離空間 (X,d) の開集合系 O_d(X) の性質を３つかけ。

内部と閉包

内部や開集合に関して、若干の復習を行いました。 開集合の具体例として N(x；ε) をあげました。 つまりN(x；ε)ⁱ ＝ N(x；ε) です。

■公式： Aⁱⁱ＝Aⁱ

■例題： Aⁱ⊂U⊂A であり、U は (X,d) の開集合であるとき、 Aⁱ＝U であることを示せ。

■定義と性質（復習）：A^a ＝ Aⁱ ∪ A^f ＝ A ∪ A^f を A の閉包という。 A ⊂ A^a が成り立つ。

■定義： A ＝ A^a がなりたつとき、A は (X,d) の閉集合であるという。 (X,d) の閉集合の全体を A_d(X) で表し、 (X,d) の閉集合系という。

■公式： A^aa＝A^a
[ヒント] A^a＝A^cic を使う。

■定理.　 A_d(X) に関して、次が成り立つ：

1. X ∈A_d(X), φ ∈A_d(X)
2. F₁, ……, F_n ∈ A_d(X) 　＝＝＞　F₁∪……∪F_n ∈ A_d(X)
3. S⊂A_d(X)　＝＝＞　∩S ∈ A_d(X)

■レポート (１月の第一回に集めます)
ユークリッド直線(R, d)の部分集合 A を考える。A から出発して、 内部・閉包を交互にとることを考える：
　　　A -> Aⁱ -> A^ia -> A^iai -> A^iaia -> A^iaiai -> ……
先に閉包をとってから、同様に繰り返すこともできる：
　　　A -> A^a -> A^ai -> A^aia -> A^aiai -> A^aiaia -> ……
例えば、A=(0,1] とすると、次のように繰り返しが起こる：
　　　A=(0,1] -> Aⁱ=(0,1) -> A^ia=[0,1] -> A^iai=(0,1) -> A^iaia=[0,1] -> A^iaiai=(0,1) -> ……
　　　A=(0,1] -> A^a=[0,1] -> A^ai=(0,1) -> A^aia=[0,1] -> A^aiai=(0,1) -> A^aiaia=[0,1] -> ……
したがって、このようにして得られる部分集合は３つしかない。 A をうまく選んで、もっと多くの異なる部分集合がえられるようにしなさい。

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位相空間

■定義： 集合 X の部分集合系 O が次の３条件をみたすとき、 O は X の位相であるといい、(X, O)を位相空間という。

1. φ∈O, X ∈O
2. U₁, ……, U_n ∈ O 　＝＝＞　U₁∩……∩U_n ∈ O
3. S⊂O　＝＝＞　∪S ∈ O

例えば、(X,d)が距離空間であるとき、O＝O_d(X) とおくと これは X の位相になります。 (X, O_d(X)) を距離空間 (X,d) の定める位相空間といいます。