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まず、前前回のレポート問題の解説を行いました。

■問題
ユークリッド直線(R, d)の部分集合 A を考える。A から出発して、 内部・閉包を交互にとることを考える：
　　　A -> Aⁱ -> A^ia -> A^iai -> A^iaia -> A^iaiai -> ……
先に閉包をとってから、同様に繰り返すこともできる：
　　　A -> A^a -> A^ai -> A^aia -> A^aiai -> A^aiaia -> ……
例えば、A=(0,1] とすると、次のように繰り返しが起こる：
　　　A=(0,1] -> Aⁱ=(0,1) -> A^ia=[0,1] -> A^iai=(0,1) -> A^iaia=[0,1] -> A^iaiai=(0,1) -> ……
　　　A=(0,1] -> A^a=[0,1] -> A^ai=(0,1) -> A^aia=[0,1] -> A^aiai=(0,1) -> A^aiaia=[0,1] -> ……
したがって、このようにして得られる部分集合は、Aも含めて３つしかない。 A をうまく選んで、もっと多くの異なる部分集合がえられるようにしなさい。

まず、どんなにうまく選んでも高々７つの異なる集合しか得られないことに注意します。 次の公式に注目します： 　　A^ia ＝ A^iaia、 　　A^ai ＝ A^aiai

A^ia ＝ A^iaiaの証明：
A^ia ⊂ A^iaia かつ A^ia ⊃ A^iaia を示す。
まず
　　　Aⁱ ⊂ A^ia
が成り立っていることに注意する。 両辺の内部をとっても包含関係は変わらないので
　　　Aⁱⁱ ⊂ A^iai
が成り立つが、Aⁱⁱ＝Aⁱ であるから、
　　　Aⁱ ⊂ A^iai
となる。この両辺の閉包をとると
　　　A^ia ⊂ A^iaia
が得られる。
同様にして、 　　　A^ia ⊃ A^iai
　⇒　A^iaa ⊃ A^iaia
　⇒　A^ia ⊃ A^iaia
となる。よって証明された。

A^ai ＝ A^aiai も同様にして証明できるので、 各自やってみてください。

さて、レポート問題の解答ですが、例えば A ＝ {0}∪(1,2)∪(2,3)∪{4以上5以下の有理数} としてみると、
　　　A -> Aⁱ=(1,2)∪(2,3) -> A^ia=[1,3] -> A^iai=(1,3) -> A^iaia=[1,3] -> ……
　　　A -> A^a={0}∪[1,3]∪[4,5] -> A^ai=(1,3)∪(4,5) -> A^aia=[1,3]∪[4,5] -> A^aiai=(1,3)∪(4,5) -> ……
のように７つの異なる集合が得られます。

部分距離空間

■定義： 距離空間 (Y,d_Y) の部分集合 X が与えられているとき、 X の上の距離関数 d_X を
　　　d_X(x, x') ＝ d_Y(x, x') 　　　（x, x' ∈ X)
で定めることができる。このようにして得られる (X,d_X) を (Y,d_Y) の部分距離空間という。

距離空間の完備性

■定義： 距離空間 (X,d) の点列｛a_n｝が次の条件を満たすとき、コーシー列 または基本列という。
　　　∀ε＞0（∃N∈N（n, m ≧ N ⇒d(a_n, a_m）＜ ε））

収束する点列は必ずコーシー列です（証明は容易）。 実数列に関しては逆がなりたつこと、すなわち、数列がコーシー列であるならば、 ある実数に収束することがよく知られています。 この事実を、ユークリッド直線 (R, d) は完備であるというふうに表現します。

■定義： 距離空間 (X,d) の任意のコーシー列が(X,d)において収束するとき、 (X,d) は完備であるという。

完備でない距離空間の例：
X＝R−{0} とおき、ユークリッド直線の部分距離空間 (X,d) を考える。この距離空間は完備ではない。実際 {1/n} はこの空間の コーシー列であるが、この空間に極限をもたない。

■例題： (Y,d_Y) は完備距離空間とする。 その部分距離空間 (X,d_X) は、X が Y の閉集合であるとき、完備である。 証明せよ。

■例題： (X,d_X) は (Y,d_Y) の部分距離空間であるとする。 (X,d_X) が完備であるならば、X は (Y,d_Y) の 閉集合であることを証明せよ。

（次回解説します）