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距離空間の定義

9月27日の講義では、距離空間の定義を行いました：

[距離関数]

写像 d:XxX→Rが次の３条件を満たしているとき、d を X 上の距離関数という。
D1:∀x, y ∈ X : d(x,y)≧0,   d(x,y)＝0 ⇔ x＝y
D2:∀x, y ∈ X : d(x,y)＝d(y,x)
D3:∀x, y, z ∈ X : d(x,z)≦d(x,y) + d(y,z)

[距離空間とその点]

X と d を対(＝順序対)にしたもの (X,d) を距離空間という。
Xの要素を距離空間の点という。

[２点の距離]

d(x,y) を２点 x, y の距離という。

• XxX は集合X とそれ自身との直積です：
  
  　　　　X×X ＝ ｛(x,y) | x, y ∈ X｝
  
  です。(x,y) は順序対です。順番を入れ替えた (y,x) は、x＝y でない限り、もとの (x,y) とは異なります。

• 距離は２点を与えると定まるものです。その２点を x, y とするときの距離を d(x, y) とかいているわけです。

• 距離関数のみたすべき３つの条件は必ず憶えてください。