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距離空間の例(1)

今週と来週で色々な距離空間の具体例を調べてみます。

1. X = R, d(x,y) = |x-y| （普通の距離、またはユークリッドの距離）
   これはRを「数直線」と考えています。最もなじみのある距離空間でしょう。
   
   
2. X が R の部分集合であるならば、上と同じ式 d(x,y)=|x-y| で距離関数を 定めて、距離空間と考えることができます。
   例えば、X＝｛1, 2, 3｝で d(x,y)=|x-y| とすることによりひとつの距離空間ができます。
   
   

   　　　　　 1　　　　　　 2　　　　　　 3
   　　　　　・　　　　　　・　　　　　　・
   

   
   
   
3. 上と同じ X ＝｛1, 2, 3｝において、距離関数 d を
   　　　　d(x,y) ＝ 1　　　(x≠yのとき)
   　　　　d(x,y) ＝ 0　　　(x＝yのとき)
   と定めます。これは上とは異なる距離空間になります。
   

   　　　　　　　　　　　・1
   
   
   
   
   
   　　　　　　　・　　　　　　　　・
   　　　　　　　 2　　　　　　　　 3
   
   

   
   
   
4. どんな集合 X でも、距離関数 d を
   　　　　d(x,y) ＝ 1　　　(x≠yのとき)
   　　　　d(x,y) ＝ 0　　　(x＝yのとき)
   と定めることによって距離空間を作ることができます。 このようにして定まるものを「離散距離空間」といいます。
   
   
5. X＝R²＝R×R の２点 x＝(x₁, x₂), y＝(y₁, y₂) に対し、その距離を
   　　　　d(x,y)＝√{(x₁-y₁)² ＋ (x₂-y₂)²}
   と定めることができます。これはすでにおなじみの距離ですので、 普通の距離とかユークリッドの距離といいます。 (X,d) をユークリッド平面といいます。