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小テスト：R²に d(x,y)=|x₁-y₁|+|x₂-y₂| という距離を考える。o=(0,0)とおく。このとき図形
　　｛ x ∈ R² ｜ d(x,o)=1 ｝
を図示せよ。

さらに他の距離を考えたときの図も描いてみました。

点列の収束

定義： 距離空間 (X,d) の点の列 x₁, x₂, ……, x_n, …… を(X,d)の点列といい、（x_n）とか｛x_n ｝と 略記する。

定義： (X,d) の点列 ｛x_n ｝と点 a に対して数列 ｛d(x_n, a)｝が 0 に収束するとき、点列｛x_n ｝は 点 a に収束するといい、x_n→a と表す。 また、このとき、a は点列｛x_n ｝の極限であるという。

R²に様々な距離を与えたときに、点列｛(1/n, 1/n)｝が収束するかどうか 調べました。

次の定理の証明を二通り与えました。

定理：距離空間の点列の極限はたかだか一つである。 すなわち、x_n → a かつ x_n → b ならば、a＝b である。