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小テスト：R²に d(x,y)=|x₁-y₁|+|x₂-y₂| という距離を考える。o=(0,0)とおく。 点列｛x_n｝をx_n＝(n,n)で定める。 ｛x_n｝は o に収束しないことを証明せよ。

解説の後、(1,0) や (5,3) 、さらにはどんな点 (a, b) にも収束しないことを示しました。 他にもいくつか証明問題をとりあげました。

問。 距離空間 (X,d) の点列｛a_n｝, ｛b_n｝が 同じ点に収束するならば、d(a_n, b_n) → 0 であることを示せ。

点列の収束 (2)

数列や点列の部分列の概念を説明し、点列や部分列が収束するならば、 その任意の部分列も同じ点や数に収束することを観察しました。

数列や点列がコーシー列（＝基本列）であるとはどういうことか説明し、 実数列に関しつぎの定理を紹介しました：

定理：数列｛a_n｝に関して次が成り立つ：
　　　｛a_n｝は収束する　⇔　｛a_n｝はコーシー列である

一般の距離空間の点列に関しては次のことしかわかりません：

定理：点列｛a_n｝に関して次が成り立つ：
　　　｛a_n｝は収束する　⇒　｛a_n｝はコーシー列である

証明は次回行います。