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開集合・閉集合 (2)

小テスト：
ユークリッド直線(R, d)の部分集合 A を考える。A から出発して、 内部・閉包を交互にとることを考える：
　　　A -> Aⁱ -> A^ia -> A^iai -> A^iaia -> A^iaiai -> ……
先に閉包をとってから、同様に繰り返すこともできる：
　　　A -> A^a -> A^ai -> A^aia -> A^aiai -> A^aiaia -> ……
例えば、A=(0,1) とすると、次のように繰り返しが起こる：
　　　A=(0,1) -> Aⁱ=(0,1) -> A^ia=[0,1] -> A^iai=(0,1) -> A^iaia=[0,1] -> A^iaiai=(0,1) -> ……
　　　A=(0,1) -> A^a=[0,1] -> A^ai=(0,1) -> A^aia=[0,1] -> A^aiai=(0,1) -> A^aiaia=[0,1] -> ……
したがって、このようにして得られる部分集合は２つしかない。 A をうまく選んで、もっと多くの異なる部分集合がえられるようにしなさい。

授業では、A=(1,2] の場合、３つの集合が得られることを観察しました。 ５つ以上異なる集合が出てくるような A をみつけることを冬休みのレポート課題としました。

前回の復習の後、次の定理を証明しました：

定理：A は距離空間 (X,d) の部分集合とする。

1. Aⁱ は A に包まれる開集合のなかで最大のものである。
2. A^a は A を包む閉集合のなかで最小のものである。

次に距離空間 (X,d) の開集合全体の作る集合族を O_(X,d) または略して O_X とか O と表すこと、 閉集合全体の作る集合族を A_(X,d) または略して A_X とか A と表すことを説明しました。 これらに関して次の性質が成り立ちます：

定理：

1. φ∈ O , X∈ O
2. U_λ∈ O （∀λ∈Λ）⇒　 ∪_λ∈Λ U_λ　∈ O
3. U₁, ……, U_n ∈ O ⇒　 U₁∩ ……∩ U_n ∈ O

A に関しても類似の定理が成り立ちますが、これは次回取り扱います。