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閉集合族 A の性質を解説しました。 その後、レポート問題の解説を行いました。 その途中でユークリッド直線の部分集合 B を4と5の間の有理数の全体としたとき、 Bⁱ＝φ、B^a＝[4,5] であることを観察しました。

連続写像 (1)

(X,d), (Y,d) をふたつの距離空間とし、f:X → Y は写像、x は X の点とします。

定義　f が点 x で連続 ⇔ [ (x_n → x) ⇒ (f(x_n) → f(x)) ]

定義　f が連続 ⇔ f がXのすべての点で連続

定理　次は同値：

1. f は連続
2. V ∈ O_Y 　⇒　f^-1(V) ∈ O_X
3. G ∈ A_Y 　⇒　f^-1(G) ∈ A_X

ただし, O_X や O_Y はそれぞれ (X,d), (Y,d) の 開集合の全体で、 A_X や A_Y はそれぞれ (X,d), (Y,d) の 閉集合の全体です。

講義では(1)⇒(3)を証明しました。次回は(3)⇒(2)⇒(1) を証明します。