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写像に入る前に、3つ以上の集合たちから和集合・共通集合・直積集合を作ることに関して 簡単に触れました。

○ A1, A2, ……, An の場合:

  1. A1 ∪ A2 ∪ …… ∪ Ani=1n Ai i∈{1,…,n} Ai  :={x | ∃i ∈{1,…,n}(x ∈ Ai)}
  2. A1 ∩ A2 ∩ …… ∩ Ani=1n Ai i∈{1,…,n} Ai  :={x | ∀i ∈{1,…,n}(x ∈ Ai)}
  3. A1 × A2 × …… × AnΠi=1n AiΠ i∈{1,…,n} Ai  :={(x1, x2, …, xn) | ∀i ∈{1,…,n}(x1 ∈ Ai)}

○ Λを添え字集合とする集合族 { Aλ| λ∈Λ } の場合:

  1. λ∈Λ Aλ  :={x | ∃λ∈Λ(x ∈ Aλ)}
  2. λ∈Λ Aλ  :={x | ∀λ∈Λ(x ∈ Aλ)}
  3. 直積は時間があれば後日解説(写像の概念が必要になるので)



写像の基礎概念

写像に関する基本的な用語(要素の像、原像)、写像の相等の概念などを解説したのち、 単射・全射・全単射について説明しました。

定義: f:A → B を写像とする。

  1. f は単射である  ⇔ ∀a, a' ∈ A ( a≠a' ⇒ f(a)≠f(a'))  ⇔ ∀a, a' ∈ A ( f(a)=f(a') ⇒ a=a')
  2. f は全射である  ⇔ ∀b ∈ B ( ∃a ∈ A (f(a)=b))
  3. f は全単射である  ⇔ f は全射でありかつ単射である

単射である写像の例として、A ⊂ B のときの包含写像 i:A → B ; i(a)=a を紹介しました。 また、特に A = B であるときはこれが恒等写像 IA:A → A となりますが、 これは全単射であることを観察しました。




演習

様々な集合族の和集合・共通集合を調べました。