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9/24(土)の講義では色々な図形を学びました。 4次元空間の中の図形を表す方法として motion picture method というものを学びました。 ここではその方法を実際のアニメーションで示してみます。


■ 小手調べに2次元球面 S2 を motion picture method で表してみます。 3次元空間の座標を x, y, z とすると S2 は方程式
         x2 + y2 + t2 = 1

で表せます。最後の座標 t を時刻とみなして、上の方程式を
         x2 + y2 = 1 - t2

と書き直せば、これは時刻により半径の変化する円周となります。 下図左はそれをアニメーションGIFにしたものです。 時刻 -1 から 1 までの変化を繰り返して表示しています。 実際の3次元空間ではその変化する円周は、下図右の図形の上端部分に相当します。



左の図から、球面を想像することは簡単ですね。


■ では次に3次元球面 S3 を motion picture method で表現してみましょう。 3次元球面の方程式を
         x2 + y2 + z2 + t2 = 1

とすると、時刻 t における切り口の方程式は
         x2 + y2 + z2 = 1 - t2

となります。これは球面です。その時刻 t による変化を アニメーションで表示したのが下図です。 2次元球面の場合の左の図に対応します。



このように変化する切り口をもつ図形を4次元空間の中に“想像”してみてください。 それが S3 です。


■その他にメビウスの帯や2次元トーラスも出てきました。 これらについては応用数学科の示野先生のページに美しい絵がありますので、 ぜひそれを鑑賞してみてください： いろいろな曲面２





次回は3次元の中に描けない図形の中で 射影平面・クラインの壷などを4次元の中に描く予定です。自分でもチャレンジしてみてください。