[目次]

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幾何学II

■セル複体のホモロジー(1)

前回（２次元以下の）セル複体 X に対し、 線形写像 ∂： C_i(X;R)　→　C_i-1(X;R) を定めました(iは整数)。 証明はしませんが、これは鎖複体になります。つまり∂∂＝0 が成り立ちます。 この鎖複体をC(X;R)で表します。

例えば、前回の射影平面の例では、 線形写像 ∂： C₂(X;R)　→　C₁(X;R) の表現行列 A は

　　　　　┌ ┐
　　　　　│2│
　　　　　│2│
　　　　　└ ┘

線形写像 ∂： C₁(X;R)　→　C₀(X;R) の表現行列 B は

　　　　　┌     ┐
　　　　　│-1  1│
　　　　　│ 1 -1│
　　　　　└     ┘

で、このふたつの∂の合成写像に対応する行列は積 BA になりますが、この積は確かに 零行列となります。

一般に鎖複体
　　　　　　　　　∂　　　　∂　　　　∂　　　　∂
　　　C : …… → C_i+1　→　C_i　→　C_i-1　→　……
が与えられたとき、各 C_i の線形部分空間 Z_i, B_i を
　　　Z_i ＝ Ker (∂：C_i　→　C_i-1 ) 　＝ ｛ x ∈ C_i | ∂(x) ＝ 0 ｝
　　　B_i ＝ Im (∂：C_i+1　→　C_i ) 　＝ ｛ ∂(x) ∈ C_i | x ∈ C_i+1 ｝
で定めます。∂∂＝0 が成り立つので、包含関係
　　　C_i ⊃ Z_i ⊃ B_i
が成り立ちます。

定義：各 i に対し、
　　　H_i(C) ＝ Z_i / B_i
を （実係数）鎖複体 C のi次元ホモロジー群といいます。 これは線形空間であり、その次元
　　　β_i ＝ dim H_i(C)
を C のi次元ベッチ数といいます。

等式
　　　β_i ＝ dim Z_i − dim B_i
が成り立ちます。

また、次の関係式が成り立ちます：
　　　dim Z_i + dim B_i-1 ＝ dim C_i

★ dim B_i の計算方法： dim B_i ＝ rank (∂：C_i+1 → C_i) ですから、この写像を行列で表示し、行基本変形で階段型に変形して階数(rank)を計算します。

★ dim Z_i の計算方法： dim Z_i ＝ dim C_i − dim B_i-1 を用います。

なお、C_n+1＝０ならば、B_i＝０ですし、 C_-1＝０ならば、C₀＝Z₀です。

セル複体 X の実係数ホモロジー群 H_i(X;R) を H_i(X;R) ＝ H_i(C(X;R)) で定義します。dim H_i(X;R) を X のi次元ベッチ数といい、 β_i(X) と書きます。

射影平面の正方形表示から得られるセル複体のホモロジー群の次元の計算を行いました。

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幾何学演習II

■単体複体のホモロジー(1)

単体複体 K から得られる実係数鎖複体 C(K;R) のi次元ホモロジー群 H_i(C(K;R)) を H_i(K;R) とかき、 K の実係数i次元ホモロジー群といいます。 C(K;R)の i次元ベッチ数 β_i(C(K;R)) をβ_i(K) とかき、 K のベッチ数といいます。

■小テスト
下図のように４点 a, b, c, d がある。

              ・b




              ・a



      c・             ・d

単体複体 K ＝｛＜a,b＞,＜a,c＞,＜a,d＞,＜a＞,＜b＞,＜c＞,＜d＞｝を考える。 K の実係数ホモロジー群の次元を計算せよ。