[目次]

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幾何学II

■セル複体のホモロジー(2)

今回は、閉曲面のホモロジー群の計算を行いました。

閉曲面Xの多辺形表示はその閉曲面のセル分割を与えます。 そのセル複体のホモロジー群は、セル分割によらないことがわかっています。 i次元実係数ホモロジー群の次元をXのi次元ベッチ数といいます。 閉曲面のベッチ数については下の表のようになります。

X	S2	nT2＝T2＃…＃T2	nP2＝P2＃…＃P2
β0＝dim H0(X;R)	1	1	1
β1＝dim H1(X;R)	0	2n	n-1
β2＝dim H2(X;R)	1	1	0
χ(X)	2	2-2n	2-n

一番下の段に載せてあるのは X のオイラー標数 χ(X) です。これは
　　　χ(X)=β₀(X)−β₁(X)＋β₂(X)
です。

（２次元以下の）セル複体 X に対し、iセルの個数をρ_i(X) で表すことにします。 つまり、
　　　ρ_i(X) ＝ dim C_i(X;R)
です。このとき次の公式が成り立ちます：

定理（オイラー・ポアンカレの公式）
　　　χ(X)＝ρ₀(X)−ρ₁(X)＋ρ₂(X)

証明は次回にまわします。

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幾何学演習II

■小テスト
下図のように５点 a, b, c, d, e がある。

              ・a



      b・             ・c



              ・d




              ・e

単体複体 K ＝｛＜a,b,c＞, ＜b,c,d＞, ＜a,b＞,＜a,c＞,＜b,c＞,＜b,d＞,＜c,d＞,＜d,e＞,＜a＞,＜b＞,＜c＞,＜d＞,＜e＞｝ を考える。 K の1次元実係数ホモロジー群の次元を計算せよ。

■単体複体のホモロジー(2)

定義 単体複体 K が連結であるとは、K の任意の ２つの頂点 a, b に対し、となりあう1単体の列
　　　 ＜u₀,u₁＞, ＜u₁,u₂＞, ＜u₂,u₃＞, ＜u₃,u₄＞, …… ＜u_n-2,u_n-1＞, ＜u_n-1,u_n＞
で、u₀＝a、u_n＝b となるものが存在することをいう。

上の列の1単体から、1チェイン
　　　c ＝ ＜u₀,u₁＞＋ ＜u₁,u₂＞＋ ＜u₂,u₃＞＋ ＜u₃,u₄＞＋ ……＋ ＜u_n-2,u_n-1＞＋ ＜u_n-1,u_n＞
を作ると　∂(c)＝＜b＞−＜a＞　であることがわかります。 つまり任意の頂点 a, b に対し、＜b＞−＜a＞∈B₀ が成り立ちます。 これを使って次の定理が証明できます。

定理 K が連結であるならば、β₀(K) ＝ 1 である。

証明を途中までやりました：

以下では0単体＜v＞を単にvと略記します。 K の頂点を v₁, ……, v_r とします。 写像 f : C₀＝Z₀ → R を
　　　f(α₁ v₁＋……＋α_r v_r)＝ α₁＋……＋α_r
で定義します。これは明らかに線形写像です。 任意のα∈Rに対し、f(αv₁)＝αなので、fは全射です。

主張：Ker f ＝ B₀

もし、これが正しければ、
　　　Im f ＝ Z₀/ B₀＝H₀(X;R)
で、dim Im f ＝ dim R ＝ 1 であるから定理が正しいことになります。

主張の証明（これは次回解説します）：
★ B₀⊂Ker f の証明
Kの1単体を e₁＝＜v₁₀,v₁₁＞, e₂＝＜v₂₀,v₂₁＞, ……, e_s＝＜v_s0,v_s1＞ とします。 B₀の任意の元は ∂(β₁e₁＋……＋β₁e₁)とかけます。この元の f による像は
　　　　f∂(β₁e₁＋……＋β₁e₁)
　　　＝ β₁ f∂(e₁)＋…＋β_s f∂(e_s)
　　　＝β₁ f(v₁₁−v₁₀)＋……＋ β_s f(v_s1−v_s0)
　　　＝β₁(1＋(−1))＋……＋β_s (1＋(−1))＝0
よってB₀⊂Ker f。

★ Ker f⊂ B₀の証明
Ker f の任意の元 x＝α₁ v₁＋……＋α_r v_r をとります。仮定より、 α₁＋……＋α_r＝0 になっています。 これをα₁＝−α₂−……−α_rと変形して、 x の式に代入すると、
　　　x ＝ (−α₂−……−α_r)v₁＋ α₂ v₂＋……＋α_r v_r
　　　＝α₂ (v₂−v₁)＋……＋α_r (v_r−v₁)
となります。K が連結であるという仮定から、これが B₀の元であることが わかります。