[目次]

---

幾何学II

■閉曲面と連結和

今回はまず閉曲面の概念を導入した：

定義　図形Xが閉曲面であるとは次の２つの条件が成り立つことをいう：

1. 局所的にユークリッド平面と同相である。
2. コンパクトである（⇔有界閉集合である）

• T², S², P², KB は閉曲面である。
• D², A, MB は「ふち」があり、「ふち」の点のまわりではユークリッド平面と同相な近傍が存在しないので、閉曲面ではない。
• R² はコンパクトではないので、閉曲面ではない。
• D²の内部（開円板）はコンパクトではないので、閉曲面ではない。

ふたつの閉曲面から新しい閉曲面を作る方法がある：X, Y が閉曲面とする。 おのおのに円板をとり、その内部を取り去る。これにより、ふちをも２つの図形ができる。 ふちは共に円周である。これらをふちに沿って貼り合わせると閉曲面が得られる。 これをX＃Yとかき、X と Y の連結和という。
次の事実が成り立つ：

• 貼り合わせの向きを変えても同じ図形ができる。
• X＃Y ＝Y＃X (同相)
• (X＃Y)＃Z ＝ X＃(Y＃Z) (同相)
• X＃S²＝X (同相)

T²＃T²は正方形の辺の貼り合わせでは得られない。しかし、八角形の辺の貼り合わせによってえられることを観察した。一般に多角形の辺を貼り合わせたとき、いつも閉曲面がえられるとは限らない。次のふたつの条件が必要であり、かつ十分である：

1. 貼り合わせない辺が残ってはいけない。
2. ３つ以上の辺が互いに張り合わされてはいけない。

この条件より、多角形の辺の本数は偶数でなければいけないこともわかる。貼り合わせの仕方は各辺に文字をつけることにより、語（ワード）表示で表すことができる。

小テスト：ab^-1ca^-1bc の語表示で表される図形の「頂点」の個数は いくつになるか。

---

幾何学演習II

■n単体

点、線分、三角形はそれぞれ０次元、１次元、２次元の図形で、頂点の個数は 順に１個、２個、３個です。この「次」に来るのは４個の頂点を持つ３次元の図形・ 四面体です。これらの図形を「単体」と呼びます。点は０体、線分は１単体、 三角形は２単体、四面体は３単体と呼ばれます。一般のｎ単体を定義しました。

定義 ユークリッド空間R^Nの中の(n+1)個の点 v₀, v₁, v₂, ……, v_n が「一般の位置にある」とは、次のn個のベクトルが一次独立であることを言います：
　　　　(v₀v₁), (v₀v₂), ……, (v₀v_n)

定義 v₀, v₁, v₂, ……, v_n が一般の位置にあるとき、これらの点を頂点とする「n単体」 ｜v₀ v₁ v₂ …… v_n ｜とは 次の図形のことです：
｜v₀ v₁ v₂ …… v_n ｜＝ ｛t₀ v₀ ＋ t₁ v₁ ＋ …… ＋ t_n v_n ｜ t₀ ＋ t₁ ＋ …… ＋ t_n ＝ 1, t_i ≧ 0　｝

（t₀, t₁, …… , t_n）が点 t₀ v₀ ＋ t₁ v₁ ＋ …… ＋ t_n v_nの「重心座標」です。

※頂点の順番を取り替えても同じ単体です。図形として全く同じだからです。

■単体の辺単体

n単体 σ＝｜v₀ v₁ …… v_n｜ の n+1 個の頂点の中から、k+1 個を選び出します：
　　　v_i0, v_i1, ……, v_ik
この k+1 個の点も一般の位置にありますから、これらを頂点とする k単体
　　　｜v_i0 v_i1 …… v_ik ｜
を考えることができます。このようにして得られるk単体を、 σの 「k-辺単体」または「k-面単体」といいます。

小テスト：２単体｜v₀ v₁ v₂｜の辺単体をすべてみつけなさい。

n単体の辺単体の個数が 2ⁿ⁺¹−1 であることを観察しました。

「真辺単体」の概念を紹介しました。σの真辺単体たちの和集合をσの境界といいます。 σから境界を取り除いたものをσの内部といいます。