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幾何学II

最初にワード表示の変形に関する復習を行い、前回残した２問を小テストにしました。

■セル複体

セル複体（ただし２次元以下）の概念を導入しました。 単体複体は単体の集まりですが、セル複体は「セル」の集まりです。

「nセル」とは、n次元の閉円板と同相な図形のことです。例えば、

• 0セルは空間の点です。0単体と同じものです。
• 線分（1単体）は1セルです。
• 半円周のようにまがった曲線も1セルです。
• 三角形（2単体）は2セルです。
• n角形（n>0）も2セルです。
• 北半球のようなまがったものも2セルです。

図形の「セル分割」とは次のようなもののことをいいます：

• 有限個の0セルがあるものとしましょう。
• 1セルの両端は0セルに貼り付いています。
  ひとつの1セルの両端が同じ0セルに貼り付けられてもかまいません。
  1セルは端点以外の点で0セルや1セル（自分自身や他のもの）にぶつかってはいけません。
• 2セルのふちは0セルや1セルに貼り付いています。
  ふちはつぶれたり、異なる点が同じところに貼り付けられてもかまいません。
  2セルはふち以外の点で0セルや1セルや2セル（自分自身や他のもの） にぶつかってはいけません。
• ……

定義：　図形 X にセル分割を与えたものをセル複体といいます。

例：　閉曲面の2n辺形の辺の貼り合わせによる表示は、閉曲面のセル分割を与えます。 例えば下の図はトーラス T² の、ひとつの0セル、２つの1セル(a と b)、 ひとつの2セルからなるセル分割を与えます：

セル複体 X に対し、そのi次元実係数鎖群 C_i(X;R) を次のように定めます：
　　　　　 C_i(X;R) ： X のiセルたちを基底とする線形空間

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幾何学演習II

■鎖複体 (2)

線形写像 ∂_i：C_i(K;R)→C_i-1(K;R) を具体例で色々計算しました。また、その行列表示も求めました。 その後、次の事実を観察しました。

定理：∂_io∂_i+1＝ 0