[目次]

幾何学II

■オイラー標数

図形Xをセル分割したとき、
　　　0セルの個数 - 1セルの個数 + 2セルの個数 - 3セルの個数 + ……
という量が得られますが、この値はセル分割の取り方によりません。 これを図形Xの「オイラー標数」といい、χ(X) と書きます。

色々な図形のオイラー標数を計算しました。特に次のことがわかりました：

  1. χ(S2)＝2
  2. χ(m T2)＝2-2m 　　　ただし m≧1
  3. χ(m P2)＝2-m 　　　ただし m≧1



幾何学演習II

■線形写像の核と像

V, W を線形空間とし、dim V = n, dim W = m としておきます。 また f:V → W を線形写像とします。

定義：
(1) Ker f ＝｛ v ∈ V ｜ f(v)＝0 ｝：写像 f の核 (kernel)
(2) Im f ＝｛ f(v) ∈ W ｜ v ∈ V ｝：写像 f の像 (image)

Ker f は V の線形部分空間であり、 Im f は W の線形部分空間です。準同型定理より 次の公式が成り立ちます：
　　　dim Ker f + dim Im f ＝ n (＝ dim V) 　　　　　(*)

Ker f や Im f の次元を実際に計算するには、V と W の基底を固定し、 f を mxn 行列 A で表します。このとき、
　　　dim Im f ＝ rank(A) ：行列 A の階数
　　　dim Ker f ＝ n − rank(A)
となります。

行列 A の階数を計算するには、行列の「行基本変形」を用います：
(1) ひとつの行にある実数をかけたものを別の行に加える。
(2) ひとつの行に０でない実数をかける。
(3) ふたつの行を入れ替える。

最後の操作は、実は上の２つの操作を組み合わせて得られるので、「基本度」は低いですが、 便利なので入れておきました。