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幾何学II

■セル複体のホモロジー群(1)

図形Xをセル分割したとき、（向きのついた）iセルeの境界 ∂e はjセルたち(j-1 c で与えられる閉曲面に、 このワード表示から誘導されるセル分割を与えます。このとき2セル e の「境界」 ∂₂(e) を a+ b + c + a +(-b) +c ＝ 2a + 2c で定めます。また 0セル u から0セル v へ向かう1セル e の「境界」∂₁(e) を v - u で 定めます。一般にiセル e の「境界」∂_i(e) が i-1セルたちの一次結合として 定まります。つまり C_i-1(X;R) の元が定まります。これにより、 線形写像　 ∂_i：C_i(X;R) → C_i-1(X;R) 　が定まります。

事実：∂_io ∂_i+1＝0

このことから、Im ∂_i+1 ⊂ Ker ∂_i がわかります。 これらを次のように表すことにします：
　　　 B_i(X;R)＝Im ∂_i+1
　　　 Z_i(X;R)＝Ker ∂_i
先ほどの関係をもう一度、この記号を使って書くと、次のようになります：
　　　B_i(X;R) ⊂ Z_i(X;R) ⊂ C_i(X;R)

定義： H_i(X;R) ＝ Z_i(X;R)／B_i(X;R) を X の「i次元実係数ホモロジー群」と呼びます。 これは線形空間ですので、次元がわかると同型を除いてひとつに決まります。 次元 dim H_i(X;R) を β_i(X) とも書き、 X の「i次元ベッチ数」といいます。

公式：
(1) dim H_i(X;R) ＝ dim Z_i(X;R) − dim B_i(X;R)
(2) dim C_i(X;R) − dim Z_i(X;R) ＝ dim B_i-1(X;R)

注意：
(1) C₀(X;R) ＝ Z₀(X;R)
(2) X が0セルからkセルまでのセルしか持たないならば、B_k(X;R)＝０

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幾何学演習II

■単体的複体のホモロジー群(1)

K を単体的複体とします。K から K の鎖複体が作られます。 セル複体の時と同様に、 C_i(K;R) の線形部分空間 Z_i(K;R), B_i(K;R) が
　　　 B_i(K;R)＝Im ∂_i+1
　　　 Z_i(K;R)＝Ker ∂_i
として定まり、Kの「i次元実係数ホモロジー群」が
　　　H_i(X;R) ＝ Z_i(X;R)／B_i(X;R)
で定まります。

簡単な一次元複体の場合にホモロジー群（の次元）を計算しました。 次回はもっと複雑な複体を扱います。