[目次]

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幾何学II

■閉曲面(2)

最初に閉曲面は（連結な）２次元位相多様体であること、 すなわち任意の点が2次元開円板と同相な近傍を持つことを観察しました。 逆は必ずしも成り立たないことを具体例で説明しました。

次に２つの閉曲面 M, N の連結和M＃Nを、それぞれから開円板を取り去り、 新しくできたふち同士を貼り合わせることによりできる図形として定義しました。 このとき貼り付け方には本質的に２通りの方法がありますが、その選び方には よらないという事実をとりあえず認めて話を進めました。 また、M, N の展開表示を用いて、M＃N も閉曲面になることを観察しました。 さらに、M, N を辺のラベルを用いたワード(語)表示であらわした場合、 M＃N のワード表示はそれぞれのワード表示を連結して得られることも観察しました。 ただし、このときMとNとで、異なる文字をラベルに使っていると仮定します。

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幾何学演習II

小テスト：正方形の単体分割をひとつ見つけなさい。

■単体の向き

n 単体 |v₀v₁……v_n| は、頂点を並べ替えても 同じ図形を表します。頂点の並び方に意味を持たせるときは、 ＜v₀v₁……v_n＞という記号を用いることにします。 例えば、＜a b＞と＜b a＞は違ったものを表すと考えます。ただ、 順番が違えばみな違うというわけではありません。並べ替えるその仕方が、 「偶置換」になっているときは「同じ」、 「奇置換」になっているときは「逆」と考えます。 例えば＜a b c＞と＜b c a＞ の場合、その並べ替え方は

　　　a  b  c
　　　＼＼／
　　　　×＼
　　　／ ｜｜
　　　a  b  c

のようになっていて、同じ頂点を結ぶ曲線たちが２カ所で交わりますので、 偶置換になります。したがって、＜a b c＞＝＜c b a＞ です。