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幾何学II

■ワード表示の変形(2)

基本操作の解説を続けました。

基本操作だけでは色々めんどうなので、いくつか便利な操作を紹介しました。

1. a b a^-1 b^-1 の形の「基本部品」は式の中の任意の位置に 移動できる：
   　　　A B a b a^-1 b^-1 C 　→　A a b a^-1 b^-1 B C
   
   
2. c c の形の「基本部品」も式の中の任意の位置に移動できる：
   　　　A B c c C 　→　 A c c B C

説明：

1. 　　　 A B a b a^-1 b^-1 C
   　＝　 b^-1 C A B a b a^-1
   　→　 b^-1 B a C A b a^-1 　　　 CA を a の後ろに移動した
   　＝　 b^-1 B a C A b a^-1
   　→　 b^-1 B a b C A a^-1 　　　 CA を b の後ろに移動した
   　＝　 b^-1 B a b C A a^-1
   　＝　 b C A a^-1 b^-1 B a
   　→　 b a^-1 C A b^-1 B a 　　　 CA を a^-1 の後ろに移動した
   　＝　 b a^-1 C A b^-1 B a
   　→　 b a^-1 b^-1 B C A a 　　　 CA を B の後ろに移動した
   　＝　 b a^-1 b^-1 B C A a
   　＝　 A a b a^-1 b^-1 B C
   
   
2. 　　　A B c c C 　→　 A c B^-1 c C 　→　 A c c B C

一般に X ＝ X' （同相）、Y ＝ Y' （同相）ならば X ＃ Y ＝ X' ＃ Y' が成り立ちます。 したがって、X のワード表示 A が A' に変形され、Y のワード表示 B が B' に変形され、 かつ A, A' に現れる文字と B, B' に現れる文字に重複がないならば、AB を A'B' に 変形してもよいことになります。このことを使うと変形が簡単になることがしばしばあります。

これらを使って、与えられたワード表示を「標準形」にする方法を解説しようとしましたが、 時間が来たので、次回続けます。

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幾何学演習II

復習問題の解説を行いました。

小テスト：復習問題の[1]と同じ設定で次の条件で与えられる図形を図示しなさい：
α＋β＝ 1/2, α≧0, β≧0 （授業の問題と少し違いますが、答えは同じです）。

■鎖複体(1)

複体 K の（実係数）鎖複体 C_k(K;R) 　(k∈Z) を K の向きづけられたk単体たちを基底とする線形空間として定義しました。つまり
　　　 C_k(K;R) ＝ ｛a₁σ₁^(k)＋……＋a_mσ_m^(k) ｜ a_i∈R｝
ただし、σ₁^(k), ……, σ_m^(k) は K の向きづけられたk単体たちとします。

和やスカラー倍は自然に定義されます。