#1. 距離空間

「X と d の対」というのがピンと来なかった方が多かったようです。 これは次のように考えてください：ふたつの距離空間 (X,d), (Y, d')が「等しい」とは どういうことでしょうか。「(-, -)」は順序対でしたから、

さて、集合として R² を考え、その上に次の４つの距離関数を考えましょう （授業の時と記号が違いますが気にしないでください）。

• d(x, y) = ((x₁-y₁)² + (x₂-y₂)²)^1/2
• d'(x, y) = |x₁-y₁| + |x₂-y₂|
• d"(x, y) = max{ |x₁-y₁|, |x₂-y₂|}
• d_D(x, y) = 1 (x≠yのとき)、d_D(x, y) = 0 (x＝yのとき)

[問] さて、４つの異なる距離空間 (R², d), (R², d'), (R², d"), (R², d_D) の３点 a=(0, 0), b=(4,2), c=(4,4) を考えます。 以下の小問を、おのおのの距離空間について解きなさい。

1. a と b の距離、 b と c の距離、 c と a の距離を計算しなさい。
2. ２点 a, b から等しい距離にある点全体の作る図形を図示しなさい。>> 解答
3. ２点 b, c から等しい距離にある点全体の作る図形を図示しなさい。
4. ２点 a, c から等しい距離にある点全体の作る図形を図示しなさい。

図に描こうとすると、却ってわからなくなるかもしれません。x, y, z の３点を 含む平面を考え、その平面の上で考えるとよいと思います。

距離空間とは、任意の２点の間に「距離」が決まっているもののことです。 ２点x, yに対してその距離をd(x,y)と書くことにすると、d は２変数の関数ということになります。 上の記号は、単にそれを「記号」で表現しているだけのことです。 「記号」は便利なので早く慣れましょう。

そうです！　直積はとても重要な概念です。ちゃんと復習したでしょうか。
ウィキペディアの「直積集合」の項目には色々難しいことも載っていますが、一番上の方に書いてあることがわかれば それで十分です。

n は不等式 (a₁b₁+ …… + a_nb_n)² ≦ (a₁²+ …… + a_n²) (b₁²+ …… + b_n²) （ただし a_i, b_j はみな実数）の各カッコ内の項の数です。 n が 2 とすると、 この不等式は (a₁b₁+ a₂b₂)² ≦ (a₁²+ a₂²) (b₁²+ b₂²) となります。 ついでに n=1 の場合は (a₁b₁)² ≦ (a₁²) (b₁²) となりますが、これは明らかに＝が成り立ちますね。

R と距離関数 d(x,y)=|x-y| の対のことを「ユークリッド直線」といいます。 同じ集合 R でも、別の距離関数、例えば d'(x,y)=|x-y|/(1+|x-y|) をついにして 得られる距離空間はユークリッド直線とはいいません。
R²でも、上の問の (R²,d) が ユークリッド平面といわれる距離空間です。 (R²,d') や (R²,d") はユークリッド平面ではありません。

古代ギリシャの数学者の名前です。
ウィキペディアの「エウクレイデス」の項目を読んでみてください。

「距離」は日常用語と同じで、二つの点の離れぐあいを表す「数」です。 この数は、考えている２点が変わると変わるので、その２点を変数と思うと 「関数」になります。これが「距離関数」です。 集合にその上の距離関数というある種の構造を組み込んだものが「(距離)空間」です。
一般に「集合」に何らかの「構造」を組み込んだものを「空間」と呼びます。 例えばR²にある条件をみたす「和」や「スカラー倍」の演算を 組み込むと「線形空間」と呼ばれるものになります。

点xから点yまでの距離を測るのと、点yから点xまでの距離を測るのでは、 同じ結果になって欲しい、という要求だと思ってください。

上の問は図が出てきますから、楽しんでください。 9/29の授業では色々図が出てきます。 ただ、図は理解を助けることもありますし、 逆に判断を間違わせることもあるので、注意して用いましょう。

まず、Rのときですが、２点 x, y を与えるとその距離は d(x,y)=|x-y| なので、d は２つの実変数の関数になります。
R²のとき、２点 x=(x₁,x₂), y=(y₁,y₂) の距離 d(x,y)=d((x₁,x₂), (y₁,y₂) ) = d(x₁,x₂, y₁, y₂) は ((x₁-y₁)² + (x₂-y₂)²)^1/2 で、 d は４つの実変数の関数となります。