命題と論理

[目次]

命題と論理（続き）・集合

■命題と論理（続き）

前回、命題に関する基本演算 ∨∧￢およびそれらを組み合わせて得られる演算 ⇒⇔ について学びました。
また、命題Ｐ, Ｑ, …… について
　　　　（Ｐ, Ｑ, …… の式Ａ）⇔ （Ｐ, Ｑ, …… の式Ｂ）
がＰ, Ｑ, …… の真理値によらず必ずＴであることを
　　　　（Ｐ, Ｑ, …… の式Ａ）≡ （Ｐ, Ｑ, …… の式Ｂ）
と書き、式Ａと式Ｂの表す命題は同値であるということも習いました。例えば、次のような公式が成立します：

Ｐ∨Ｑ≡Ｑ∨Ｐ, Ｐ∧Ｑ≡Ｑ∧Ｐ
（Ｐ⇒Ｑ）≡（（￢Ｐ）∨Ｑ）
￢（Ｐ∨Ｑ）≡（￢Ｐ）∧（￢Ｑ）
￢（Ｐ∧Ｑ）≡（￢Ｐ）∨（￢Ｑ）
￢（￢Ｐ）≡Ｐ
￢（Ｐ⇒Ｑ）≡（Ｐ∧（￢Ｑ））
（￢Ｑ⇒￢Ｐ）≡（Ｐ⇒Ｑ）
Ｐ∨（Ｑ∧Ｒ）≡（Ｐ∨Ｑ）∧（Ｐ∨Ｒ）
Ｐ∧（Ｑ∨Ｒ）≡（Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧Ｒ）
これらは演習で証明しました。証明は真理表を作ることによって行いました。すでに習った公式を使って、より簡単に証明することも可能です。例えば、上の６は、
　　　　￢（Ｐ⇒Ｑ）≡￢（（￢Ｐ）∨Ｑ）≡￢（￢Ｐ）∧（￢Ｑ）≡Ｐ∧（￢Ｑ）
のように考えることも出来ます。色々工夫してみましょう。

今回はさらに限定命題について勉強します。以下をチェックして下さい。

限定命題にはどのようなものがあるか。
命題の否定を、よりわかりやすい同値な命題に変形できるか。

∀ｘ（Ｐ(ｘ)）型の限定命題
ほとんどの場合、∀ｘ（Ａ(ｘ)⇒Ｂ(ｘ)）のような形で使われます。

例：∀ｎ（ｎが自然数である⇒ｎ(ｎ＋１)は偶数である）
これを普通のことばで表現するとき
　　任意のｎに対し、ｎが自然数であるならばｎ(ｎ＋１)は偶数である。
のように書くと、どこで切れているのかわかりにくいですし、不自然ですので、
　　任意の自然数ｎに対し、ｎ(ｎ＋１)は偶数である。
とか、いっそのこと「任意のｎに対し」を省略して、
　　ｎが自然数であるならばｎ(ｎ＋１)は偶数である。
のように書く方がわかりやすくなります。

∃ｘ（Ｐ(ｘ)）型の限定命題
ほとんどの場合、∃ｘ（Ａ(ｘ)∧Ｂ(ｘ)）のような形で使われます。

例：∃ｎ（ｎは自然数である∧ｎ²＋ｎ－６＝０）
これを普通のことばで表現するとき
　　ｎが自然数であり、かつｎ²＋ｎ－６＝０が成りたつようなｎが存在する。
のように書くと、やはりわかりにくく、不自然ですので、
　　自然数であり、かつ、ｎ²＋ｎ－６＝０をみたすようなｎが存在する。
とか、さらには、
　　ｎ²＋ｎ－６＝０をみたすような自然数ｎが存在する。
のように表現するとよいでしょう。

■集合

集合とは？　要素とは？
集合の表現の仕方にはどんなものがあるか。
「ｘ∈Ａ」とはどういうことを表しているか。
「Ａ⊂Ｂ」とはどういうことを表しているか。
そのような関係を証明するのには一般にどのような議論を行えばよいか。
「Ａ＝Ｂ」とはどういうことを表しているか。
「Ａ∪Ｂ」とはどういうものを表しているか。
「Ａ∩Ｂ」とはどういうものを表しているか。
空集合とはどのような集合か。どのような記号で表されるか。
「Ａ^c」とはどういう集合か。
６番以降は次回学びます。

演習

教科書の問1.3、問1.5
練習問題１の２番
演習プリント No.1 (y1001.pdf)
プリントはＡの１，２をやりました。

注意：命題関数「x²＞１」の否定は「x²≦１」ではないので、気をつけて下さい。たとえば x=1+i とすると、x² は虚数(2i)ですので、１との大小比較はできません。したがって、￢(x²＞１) は真(T)ですが、 (x²≦１) は偽(F)です。
もちろん、不等式を考えているという時点で、暗黙に「xは実数である」と仮定していると考えれば、そのような問題はなくなります。