[目次]

数の体系・実数の性質

■数の体系

具体的な集合の例として色々な数の集合について学びます。

• N=自然数全体の集合
• Z=整数全体の集合
• Q=有理数全体の集合
• R=実数全体の集合

これらには次のような包含関係があります。

　　　N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R


■実数の性質

E　はRの部分集合で、空集合ではないものとします。 また、 c は実数とします。

定義：c が E の上界であるとは、

　　∀x (x ∈ E ⇒ x ≦ c )

が成立することと定義します。

命題：c が E の上界ではない ⇔ ∃x (x ∈ E ∧ (x ＞ c) )

※　ここでは関係ありませんが、一般に不等式が与えられた場合、暗黙の了解として 両辺とも実数値であると解釈します。

次のような略記法を用いることもあります：

• ∀x (x ∈ A ⇒ Q(x) )　のことを　∀x ∈ A ( Q(x) )
  
  
• ∃x (x ∈ E ∧ (x ＞ c) ) 　のことを　∃x ∈ E ( Q(x) ) または ∃x ∈ E s.t. Q(x)

この書き方を用いると：

• c が E の上界である　⇔　∀x ∈ A ( x ≦ c )
  
  
• c が E の上界ではない　⇔　∃x ∈ E (x ＞ c) )

となります。そのほかにも、誤解のおそれがない場合は、同様の略記法をどんどん使ってかまいません。

例：E = (1,2) 開区間　とします。

• 3 は E の上界です。
• 4 も E の上界です。
• 2 も E の上界です。
• 1.8 は E の上界ではありません。
• 0 も E の上界ではありません。

演習

• プリント＃１のＡ６の解説をしました。
• プリント＃１のＢ１，Ｂ２，Ｂ４，Ｂ５，Ｂ６，Ｂ８，Ｂ９がすみました。

前回の課題について：

以下の命題６”、６’、６を式で表しなさい。 またおのおのの否定を作りなさい。

命題６”：

次を満たすような自然数Ｎが存在する： x＞Ｎであるようなすべての実数 x に対して (1/2)^x＜ 1 が成りたつ。

命題６’：

任意の正の数εに対して、次を満たすような自然数Ｎが存在する： x＞Ｎであるようなすべての実数 x に対して (1/2)^x＜ ε が成りたつ。

命題６：

0 ＜ a ＜ 1 であるならば、任意の正の数εに対して、次を満たすような自然数Ｎが存在する： x＞Ｎであるようなすべての実数 x に対して a^x＜ ε が成りたつ。

解答
６”： ∃N (N∈N ∧ ∀x( x＞N ⇒ (1/2)^x＜ 1 ))

６’： ∀ε（ε＞0 ⇒ ∃N (N∈N ∧ ∀x( x＞N ⇒ (1/2)^x＜ ε)) ）

６： ∀a（ 0＜a＜1 ⇒ ∀ε（ε＞0 ⇒ ∃N (N∈N ∧ ∀x( x＞N ⇒ a^x＜ ε)) ） ）
または連続する∀をまとめて　 ∀a，∀ε（0＜a＜1 ∧ε＞0 ⇒ ∃N (N∈N ∧ ∀x( x＞N ⇒ a^x＜ ε)) ）

さらに、上で述べたように簡略化すると

６”： ∃N ∈N（∀x＞N（(1/2)^x＜ 1 ））

６’： ∀ε>0（ ∃N ∈N（∀x＞N（ (1/2)^x＜ ε ）） ）

６： 0＜∀a＜１（ ∀ε>0（ ∃N ∈N（∀x＞N（ (1/2)^x＜ ε ）） ） ）
　または 0＜∀a＜１，∀ε>0（ ∃N ∈N（∀x＞N（ (1/2)^x＜ ε ）） ）

否定に関しては省略します（タイプに疲れました）。 限定命題の否定の典型的なパターンはつぎのふたつであることを使って下さい：

• ¬（∀x（A(x) ⇒ B(x)））≡ ∃x（A(x) ∧ ¬B(x)）
• ¬（∃x（A(x) ∧ C(x)））≡ ∀x（A(x) ⇒ ¬C(x)）