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実数の性質（続き）

■実数の性質

全回に続いて、Rの空でない部分集合 E に対して、最大値 max E ・最小値 min E ・ 上限 sup E・下限 inf E の定義と具体例の紹介を行いました。

• max E ＝ E の要素の中で最も値の大きいもの
• min E ＝ E の要素の中で最も値の小さいもの
• sup E ＝ min｛ c | c は E の上界 ｝
• inf E ＝ max｛ c | c は E の下界 ｝

E が上に有界ならば sup E が存在し、 E が下に有界ならば inf E が存在します。 これは、この授業では事実として認めることにします。

max E が存在すれば、それは自動的に sup E になっています。 また、min E が存在すれば、それは自動的に inf E になっています。
しかし、sup E が存在しても、必ずしも max E は存在するとは限りませんし、 inf E が存在しても、必ずしも min E が存在するとは限りません。

• sup E が存在し、sup E ∈ E ならば max E ＝ sup E。
• sup E が存在し、sup E ∈ E でないならば max E は存在しない。
  
  
• inf E が存在し、inf E ∈ E ならば min E ＝ inf E。
• inf E が存在し、inf E ∈ E でないならば min E は存在しない。
  
  

具体例：

• E として N を考えます。
  • max N ：存在しない
  • min N ＝ 1
  • sup N ：存在しない　（つまり、N は上に有界でない！）
  • inf N ＝ 1
  
  
• E として ｛ 1/n | n∈N｝ を考えます。
  • max E ＝ 1
  • min E ：存在しない
  • sup E ＝ 1
  • inf E ＝ 0

解説：

• sup N が存在しないこと、つまり N が上に有界でないこと:
  直感的に明らかですが、次のような背理法による理詰めの議論も可能です。 上限 sup N が存在すると仮定しましょう。それを c と置きます。 c-1 は c より小さいので、N の上界ではありません。 従って、c-1 ＜ n をみたすような自然数 n が存在します。この不等式の -1 を移項すると c ＜ n+1 となります。n が自然数ですから、当然 n+1 も自然数です。 従ってこの不等式は、c が　N の上界ではないことを意味します。 これは c の取り方に矛盾します。よって、上限が存在しないことが結論できます。
• inf｛ 1/n | n∈N｝＝ 0 であること：
  
  • 0 が E ＝｛ 1/n | n∈N｝の下界であること。
    Eの要素は 1/n (nは自然数)の形をしているのですから、明らかに 0 ＜ 1/n の不等式が 成りたちます。これは 0 が E の下界であることを意味します。
  • 0 が E の最大な下界であること。
    仮に 0 より大きい下界 c が存在したとします。定義より、 すべての自然数 n に対して、 c ≦ 1/n が成りたちます。 この不等式を n に関して解くと n ≦ 1/c となります。これは 1/c という実数が自然数全体の集合 N の上界であることを意味します。 これは N は上に有界でないという事実に反します。 したがって、上のような c は存在しません。

練習問題． inf ｛(1/2)ⁿ | n ∈ N ｝＝ 0 であることを証明しなさい。

演習

• プリント＃２の１がすみました。