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■全射・単射・全単射

写像 f : X → Y を考えます。

fに関する以下の条件は互いに同値です。 これらをみたすとき、fは全射であるといいます。

1. f(X) = Y
2. f(X) ⊃ Y
3. 各 y ∈ Y に対し、∃x∈X s.t. f(x)=y
4. 各 y ∈ Y に対し、f^-1(｛y｝) は空でない （つまり要素の個数は１以上）。

fに関する以下の条件は互いに同値です。 これらをみたすとき、fは単射であるといいます。

1. x, x' ∈X かつ x≠x'　⇒　f(x)≠f(x')
2. x, x' ∈X かつ f(x)＝f(x')　⇒　x＝x'
3. 各 y ∈ Y に対し、f^-1(｛y｝) は空であるか、または ちょうど一つの要素からなる（つまり、要素の個数が１以下）。

fに関する以下の条件は互いに同値です。 これらをみたすとき、fは全単射であるといいます。

1. fは全射であり、かつ単射である。
2. 各 y ∈ Y に対し、f^-1(｛y｝) は ちょうど一つの要素からなる（つまり、要素の個数が１）。

f:X→Y が全単射であるとき、各 y∈Y に対し、f(x)=y である x∈X が ただひとつ存在します。yに対してこの x を対応させる写像を f^-1:Y→Xとかき、f の逆写像といいます。

演習

• プリント＃３ の３，４，６(1)を解きました。