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距離空間の定義と例

■距離関数

集合 X において、どの２つの要素 x, y に対しても、その間の「距離(distance)」が 定められているとき、X を距離空間といいます（正確な定義は後で）。 このとき、X を「図形」とみなし、要素のことを「点」と呼びます。

次のような例はすでになじみ深いものです：

• 「数直線」：実数の全体の集合Rにおいて、x と y の距離を|x-y| で与えたもの。
• 「座標平面」：直積 R×R＝R²＝ ｛(x,y)|x∈R, y∈R｝において、２点 (x,y), (x',y') の距離を √{(x-x')²+(y-y')²}で与えたもの。

ちょっと変わった例では次のようなものがあります：

• X として集合｛1, 2, 3｝を考えます。 n, m ∈ X の間の距離を n＝m なら（当然？）0 とし、n≠m ならば 1 とします。
  1と2、2と3の距離は 1 ですが、1と3の距離も 1 というのが納得いかないかもしれません。 それは、「普通の距離」|n-m| に、我々が慣れているからであって、 頭の中にこれら３つの数（点）が一直線上に等間隔にならんでいる絵
  
  

  　　　　　 1　　　　　　 2　　　　　　 3
  　　　　　・　　　　　　・　　　　　　・
  

  
  
  を思い浮かべるとおかしくなってしまいます。上のように定めた場合は、 ３つの数が正三角形の頂点にあると思えばよいのです。
  
  

  　　　　　　　　　　　・1
  
  
  
  
  
  　　　　　　　・　　　　　　　　・
  　　　　　　　 2　　　　　　　　 3
  

つまり集合 X 自身は図形としての形を持っておらず、その上の「距離構造」が X になんらかの形を与えるんだと考えるわけです。

それでは、どんな勝手な距離を与えてもよいでしょうか。 例えば次のような例はどうでしょう：

1. 集合 X＝｛1, 2, 3｝において、n, m ∈ X の間の距離は n, m の値によらず、 0 とします。
2. 集合 X＝｛1, 2, 3｝において、n, m ∈ X の間の距離を n＝m なら0 とし、n≠m ならば -1 とします。
3. 集合 X＝｛1, 2, 3｝において、1 と 2 の距離は 1、2 と 3 の距離は 1、 1 と 3 の距離は 10 とします。

実は、これらはどれも「距離空間」とは呼びません。２点間に「距離」が決まっていればよい というわけではなく、その「距離」はある条件を満たさなくてはいけないのです。 その条件とは次の２つ（正確には最初のものは２つに分かれている）です：

• ２点 x, y 間の距離は０または正でなくてはならない。
  また距離が０であるのはx＝yの場合に限る。
• x, y の距離と y, z の距離を足したものは、x と z の距離以上でなければならない。

上の方の条件は、納得できると思います。 一方下の方の条件ですが、 平面における通常の距離を考えると、距離は２点を結ぶ線分の長さで与えられ、それは 一方から他方へ移動する道のりのなかでの最小値になっています。 x から z へ移動するのに、途中 y により道をした方が近くなるということは ありえませんから、これも納得のできる条件でしょう。

上の例１では、異なる２点 1, 2 の距離が０になっていますから、上の条件をみたしていません。 例２では、負の距離を与えているので、やはり上の条件をみたしていません。 例３では 1, 3 の距離は10となっているのに、2 を「経由」してみると合計が2になって しまいます。これは下の条件をみたしていません。

「距離」に関する上の条件を、もう少しきちんと表現してみましょう。 「距離」は２点に対して定まります。２点を取り替えると、距離も（たぶん）変わるでしょう。 ですからこれは２変数の関数と考えることができます。 ２点 x, y に対して、その距離を d(x,y) で表しましょう。すると、d は 関数（写像）d : X×X → R ということになります。 ここで、X×X は X 自身の「直積」を表します。つまり

　　　　X×X ＝ ｛(x,y) | x, y ∈ X｝

です。(x,y) は順序対です。順番を入れ替えた (y,x) は、x＝y でない限り、もとの (x,y) とは異なります。 したがって、d(x,y) が x, y の距離を表すのなら、d(x,y)＝d(y,x) が 成り立つ必要があります。これを追加して、d のみたすべき条件をまとめると 次のようになります：

1. d(x,y) ≧ 0
   d(x,y) ＝ 0 ⇔ x＝y
2. d(x,y) ＝ d(y,x)
3. d(x,z) ≦ d(x,y) + d(y,z) 〔三角不等式〕

この条件をみたすとき、d は X の上の距離関数といいます。 X とその上の距離関数 d の対 (X,d) を距離空間といいます。

■課題
X は（空でない）集合とする。x, y ∈ X に対し

　　　　d(x,y) ＝ 1　　　(x≠yのとき)
　　　　d(x,y) ＝ 0　　　(x＝yのとき)

と定める。このとき d は X の上の距離関数であることを証明せよ。