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内部・外部・境界

今回も、内点の概念の復習をし、その後、小テストを実施しました：

■小テスト

ユークリッド平面 (R²,d₀) の部分集合 A ＝｛x∈R²｜x₁²+x₂²≦4｝と点 x=(1, 1) を考える。 x は A の内点である。N(x;ε)⊂A をみたすようなε＞0で最大なものを求めよ。

解：ε＝√{2} - 1


■定義およびいいかえ　
(X,d) は距離空間、A ⊂ X 、x ∈ X とする。 また A の補集合 A^c を B と表す。

1. x は A の内点　＜＝＞　∃ε＞０ s.t. N(x;ε)⊂ A （すでに定義済み）
   
   
2. x は A の外点　＜＝＞　x は B の内点
   　　　　　　　　　　＜＝＞　∃ε＞０ s.t. N(x;ε)⊂ B
   　　　　　　　　　　＜＝＞　∃ε＞０ s.t. N(x;ε)∩ A ＝ φ
   
   
3. x は A の境界点　＜＝＞　x は A の内点でもないし、外点でもない
   　　　　　　　　　　　＜＝＞　∀ε＞０ （ N(x;ε) ∩ B ≠ φ　かつ N(x;ε) ∩ A ≠ φ）
   
   

x ∈ N(x;ε) なので、

• x が A の内点 ＝＞ x ∈ A
• x が A の外点 ＝＞ x ∈ B＝A^c

となり、ひとつの点xがAの内点であり、同時にAの外点であることはありません。 したがって、X の点 x は、A の内点、外点、境界点のいずれかひとつになります。

■定義

1. Aⁱ ＝ A の内点全体の集合　　：A の内部
2. A^e ＝ A の外点全体の集合　　：A の外部
3. A^f ＝ A の境界点全体の集合　：A の境界

次のことがわかります。ただし B＝A^cとします。

• Aⁱ ∪ A^f ∪ A^e ＝ X
• Aⁱ、A^f、A^e は互いに交わらない。
• B^e ＝ Aⁱ ⊂ A
• A^e ＝ Bⁱ ⊂ B
• A^f ＝ B^f

その状況を図示すると、以下のようになります：

A ‖ Bc

Ac ‖ B

↓

Ai ‖ Be

Af ‖ Bf

Ae ‖ Bi

■定義

• A^a ＝ Aⁱ ∪ A^f ： A の閉包

ユークリッド直線 (R, d) において、A ＝ (0,1] の内部・外部・境界をしらべました。