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開集合系の性質

前回、下の問いの(1)しか説明できませんでしたので、残りを解説しました。

■問
(X, d) は距離空間、A および B はその部分集合とする。
　　　(1) A ⊂ B ならば、Aⁱ ⊂ Bⁱ かつ B^e ⊂ A^e であることを示せ。
　　　(2) (A ∩ B)ⁱ ＝ Aⁱ ∩ Bⁱ を示せ。
　　　(3) (A ∪ B)ⁱ ＝ Aⁱ ∪ Bⁱ は正しいか。

そののち、集合 X の部分集合系やその「和集合」「共通部分」の概念を説明し、 距離空間(X,d)の開集合全体の作る「開集合系」O_d(X) に 関して次の定理を証明しました。

■定理.　 O_d(X) に関して、次が成り立つ：

1. φ∈O_d(X), X ∈O_d(X)
2. U₁, ……, U_n ∈ O_d(X) 　＝＝＞　U₁∩……∩U_n ∈ O_d(X)
3. S⊂O_d(X)　＝＝＞　∪S ∈ O_d(X)

上の２に関連して、無限個の開集合の共通部分は必ずしも開集合ではないことを説明しました。